Sejam e para uma v.a. contínua com distribuição Uniforme.
d) Faça os gráficos de e
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! Primeiro, o que a gente tem aqui é uma variável aleatória contínua $ U $ que segue uma distribuição Uniforme no intervalo , onde $ \alpha = -\frac{1}{2} $ e $ \beta = \frac{1}{2} $. A pergunta d) pede para fazermos os gráficos da função densidade de probabilidade $ f(u) $ e da função de distribuição acumulada $ F(u) $. Para isso, vamos precisar entender como são definidas essas funções na distribuição Uniforme.
Passo 2
Vamos começar entendendo a função densidade de probabilidade $ f(u) $ para uma distribuição Uniforme. A função densidade é basicamente o “perfil” da distribuição, mostrando a probabilidade relativa de cada valor dentro do intervalo . Para a distribuição Uniforme, essa função é constante dentro do intervalo e zero fora dele. A fórmula para $ f(u) $ é:
No nosso caso, $ \beta - \alpha = \frac{1}{2} - (-\frac{1}{2}) = 1 $, então $ f(u) = 1 $ para $ u $ entre -½ e ½, e 0 fora desse intervalo.
Passo 3
Agora, vamos para a função de distribuição acumulada $ F(u) $. Essa função representa a probabilidade de a variável aleatória $ U $ ser menor ou igual a um valor específico $ u $. Para a distribuição Uniforme, a função acumulada aumenta de forma linear dentro do intervalo . A fórmula geral para $ F(u) $ é:
Substituindo os valores de $ \alpha $ e $ \beta $:
u
Isso significa que $ F(u) $ começa em 0, aumenta linearmente de -½ a ½, e depois fica em 1.
Passo 4
Agora que temos as fórmulas para $ f(u) $ e $ F(u) $, vamos imaginar como seriam os gráficos:
Gráfico de $ f(u) $:
No eixo horizontal ($ u $), temos os valores de -½ a ½.
No eixo vertical ($ f(u) $), a função é constante em 1 dentro desse intervalo.
Fora desse intervalo, a função é 0.
Então, o gráfico de $ f(u) $ é um retângulo alto 1 entre -½ e ½.
Gráfico de $ F(u) $:
No eixo horizontal ($ u $), novamente de -½ a ½.
No eixo vertical ($ F(u) $), a função começa em 0.
De -½ a ½, $ F(u) $ aumenta linearmente de 0 a 1, ou seja, uma linha reta com inclinação positiva.
Acima de ½, a função é constante em 1.
Então, o gráfico de $ F(u) $ é uma linha que sobe de 0 a 1 de forma linear entre -½ e ½, e depois se mantém em 1.
Resposta
Os gráficos da função densidade de probabilidade $ f(u) $ e da função de distribuição acumulada $ F(u) $ para a distribuição Uniforme no intervalo f(u) são:
$ f(u) $: Um retângulo com altura 1 entre $ u = -\frac{1}{2} $ e $ u = \frac{1}{2} $, e valor 0 fora desse intervalo.
$ F(u) $: Uma linha reta crescente de 0 a 1 entre $ u = -\frac{1}{2} $ e $ u = \frac{1}{2} $, permanecendo em 0 para $ u < -\frac{1}{2} $ e em 1 para $ u > \frac{1}{2} $.