Suponha uma v.a. contínua Y exponencial tal que: Y sim Exp(2).
Construa o gráfico da f.d.p. de Y.

Passo 1

Então, galera, o que a gente tem aqui é um exercício sobre variável aleatória contínua, mais especificamente, a distribuição exponencial. A gente vai trabalhar com a variável $ Y $ que segue a distribuição exponencial com parâmetro $ \lambda = 2 $, ou seja, $ Y \sim \operatorname{Exp}(2) $. Nosso objetivo é construir o gráfico da função de densidade de probabilidade (f.d.p.) dessa variável.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da função de densidade de probabilidade para uma distribuição exponencial. A fórmula geral é:
fY(y) = lambda e^-lambda y
Aqui, $ \lambda $ é o parâmetro da distribuição. No nosso caso, $ \lambda = 2 $, então substituindo na fórmula, temos:
lambda

Passo 3

Agora, vamos entender o que essa função representa. A f.d.p. nos mostra a probabilidade de a variável $ Y $ assumir um valor específico. Como estamos lidando com uma distribuição contínua, a probabilidade exata de $ Y $ ser igual a um valor qualquer é zero, mas a f.d.p. nos ajuda a entender como as probabilidades estão distribuídas ao longo dos valores possíveis de $ Y $.

Passo 4

Vamos analisar o comportamento da função $ f_Y(y) = 2 e^{-2 y} $:
  1. Quando $ y = 0 $:
    fY(y) = 2 e^-2 y
    Então, no ponto $ y = 0 $, a f.d.p. é 2.
  2. Conforme $ y $ aumenta:
    O termo $ e^{-2 y} $ faz com que a função decresça exponencialmente. Isso significa que à medida que $ y $ fica maior, o valor de $ f_Y(y) $ se aproxima de 0, mas nunca chega exatamente a 0.

Passo 5

Para construir o gráfico, podemos plotar alguns pontos para termos uma ideia de como a f.d.p. se comporta:
$ y $ $ f_Y(y) $
0 2
0,5 $ 2 e^{-1} \approx 0,7358 $
1 $ 2 e^{-2} \approx 0,2707 $
1,5 $ 2 e^{-3} \approx 0,0996 $
2 $ 2 e^{-4} \approx 0,0366 $

Passo 6

Com esses pontos, podemos esboçar o gráfico. A f.d.p. começa em $ y = 0 $ com valor 2 e decai de forma suave e contínua em direção a 0 conforme $ y $ aumenta. O gráfico terá a forma de uma curva exponencial decrescente.

Resposta

O gráfico da função de densidade de probabilidade de $ Y \sim \operatorname{Exp}(2) $ é uma curva exponencial que começa no ponto (0, 2) e decai continuamente em direção a 0 conforme $ y $ aumenta. Essa curva é descrita pela função $ f_Y(y) = 2 e^{-2 y} $ para $ y \geq 0 $.

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