Suponha uma v.a. contínua
exponencial tal que:
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Construa o gráfico da f.d.p. de Y.
Construa o gráfico da f.d.p. de Y.
Passo 1
Então, galera, o que a gente tem aqui é um exercício sobre variável aleatória contínua, mais especificamente, a distribuição exponencial. A gente vai trabalhar com a variável $ Y $ que segue a distribuição exponencial com parâmetro $ \lambda = 2 $, ou seja, $ Y \sim \operatorname{Exp}(2) $. Nosso objetivo é construir o gráfico da função de densidade de probabilidade (f.d.p.) dessa variável.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da função de densidade de probabilidade para uma distribuição exponencial. A fórmula geral é:
Aqui, $ \lambda $ é o parâmetro da distribuição. No nosso caso, $ \lambda = 2 $, então substituindo na fórmula, temos:
Passo 3
Agora, vamos entender o que essa função representa. A f.d.p. nos mostra a probabilidade de a variável $ Y $ assumir um valor específico. Como estamos lidando com uma distribuição contínua, a probabilidade exata de $ Y $ ser igual a um valor qualquer é zero, mas a f.d.p. nos ajuda a entender como as probabilidades estão distribuídas ao longo dos valores possíveis de $ Y $.
Passo 4
Vamos analisar o comportamento da função $ f_Y(y) = 2 e^{-2 y} $:
-
Quando $ y = 0 $:Então, no ponto $ y = 0 $, a f.d.p. é 2.
-
Conforme $ y $ aumenta:
O termo $ e^{-2 y} $ faz com que a função decresça exponencialmente. Isso significa que à medida que $ y $ fica maior, o valor de $ f_Y(y) $ se aproxima de 0, mas nunca chega exatamente a 0.
Passo 5
Para construir o gráfico, podemos plotar alguns pontos para termos uma ideia de como a f.d.p. se comporta:
$ y $ | $ f_Y(y) $ |
---|---|
0 | 2 |
0,5 | $ 2 e^{-1} \approx 0,7358 $ |
1 | $ 2 e^{-2} \approx 0,2707 $ |
1,5 | $ 2 e^{-3} \approx 0,0996 $ |
2 | $ 2 e^{-4} \approx 0,0366 $ |
Passo 6
Com esses pontos, podemos esboçar o gráfico. A f.d.p. começa em $ y = 0 $ com valor 2 e decai de forma suave e contínua em direção a 0 conforme $ y $ aumenta. O gráfico terá a forma de uma curva exponencial decrescente.
Resposta
O gráfico da função de densidade de probabilidade de $ Y \sim \operatorname{Exp}(2) $ é uma curva exponencial que começa no ponto (0, 2) e decai continuamente em direção a 0 conforme $ y $ aumenta. Essa curva é descrita pela função $ f_Y(y) = 2 e^{-2 y} $ para $ y \geq 0 $.