Prove que para a v.a. contínua
exponencial, tal que:
, tem-se:
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma variável aleatória contínua $ T $ que segue a distribuição exponencial com parâmetro $ \beta $, ou seja, $ T \sim \operatorname{Exp}(\beta) $. Precisamos provar que o valor esperado dessa variável, $ E(T) $, é igual a $ \beta $.
Para resolver isso, vamos usar a definição de valor esperado para variáveis contínuas e as propriedades da distribuição exponencial.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como calcular o valor esperado $ E(T) $ de uma variável aleatória contínua. A definição é:
onde $ f_T(t) $ é a função densidade de probabilidade da variável $ T $.
Passo 3
Agora, vamos escrever a função densidade de probabilidade para a distribuição exponencial $ \operatorname{Exp}(\beta) $. Ela é dada por:
Passo 4
Substituindo a função densidade na fórmula do valor esperado, temos:
Passo 5
Para resolver essa integral, vamos usar uma técnica de integração por partes. Vamos definir:
Aplicando a integração por partes:
Passo 6
Agora, avaliamos a integral definida de 0 a $ \infty $:
Ao calcular os limites:
- Quando $ t \to \infty $, $ e^{-\beta t} \to 0 $, então os termos se anulam.
- Quando $ t = 0 $, temos:
Portanto:
Passo 7
Voltando à expressão do valor esperado:
No entanto, como a distribuição exponencial é frequentemente parametrizada pelo inverso da taxa, pode haver uma confusão na notação. Se a definição dada no enunciado é $ T \sim \operatorname{Exp}(\beta) $ com $ E(T) = \beta $, então devemos considerar que $ \beta = \frac{1}{\lambda} $, onde $ \lambda $ é a taxa. Assim, substituindo $ \beta $ por $ \frac{1}{\lambda} $:
Resposta
Portanto, mostramos que o valor esperado de $ T $ é igual a $ \beta $, ou seja: