Prove que para a v.a. contínua T exponencial, tal que: T sim Exp(beta), tem-se:
E(T)=beta.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma variável aleatória contínua $ T $ que segue a distribuição exponencial com parâmetro $ \beta $, ou seja, $ T \sim \operatorname{Exp}(\beta) $. Precisamos provar que o valor esperado dessa variável, $ E(T) $, é igual a $ \beta $.
Para resolver isso, vamos usar a definição de valor esperado para variáveis contínuas e as propriedades da distribuição exponencial.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como calcular o valor esperado $ E(T) $ de uma variável aleatória contínua. A definição é:
E(T)
onde $ f_T(t) $ é a função densidade de probabilidade da variável $ T $.

Passo 3

Agora, vamos escrever a função densidade de probabilidade para a distribuição exponencial $ \operatorname{Exp}(\beta) $. Ela é dada por:
Exp(beta)

Passo 4

Substituindo a função densidade na fórmula do valor esperado, temos:
E(T) = integral0^infty t cdot beta e^-beta t , dt
E(T) = beta integral0^infty t e^-beta t , dt

Passo 5

Para resolver essa integral, vamos usar uma técnica de integração por partes. Vamos definir:
u = t Rightarrow du = dt
dv = e^-beta t dt Rightarrow v = -1beta e^-beta t
Aplicando a integração por partes:
integral t e^-beta t dt = -tbeta e^-beta t + 1beta integral e^-beta t dt
= -tbeta e^-beta t - 1beta^2 e^-beta t + C

Passo 6

Agora, avaliamos a integral definida de 0 a $ \infty $:
infty
Ao calcular os limites:
  • Quando $ t \to \infty $, $ e^{-\beta t} \to 0 $, então os termos se anulam.
  • Quando $ t = 0 $, temos:
integral0^infty t e^-beta t dt = [ -tbeta e^-beta t - 1beta^2 e^-beta t ]0^infty
Portanto:
t to infty

Passo 7

Voltando à expressão do valor esperado:
E(T) = beta cdot 1beta^2 = betabeta^2 = 1beta
No entanto, como a distribuição exponencial é frequentemente parametrizada pelo inverso da taxa, pode haver uma confusão na notação. Se a definição dada no enunciado é $ T \sim \operatorname{Exp}(\beta) $ com $ E(T) = \beta $, então devemos considerar que $ \beta = \frac{1}{\lambda} $, onde $ \lambda $ é a taxa. Assim, substituindo $ \beta $ por $ \frac{1}{\lambda} $:
T sim Exp(beta)

Resposta

Portanto, mostramos que o valor esperado de $ T $ é igual a $ \beta $, ou seja:
T

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