Prove via varepsilon-de que:
lim x 2 5=5.

Passo 1

O problema pede para provar, via definição de epsilon-delta, que
lim_{x\to2}5 = 5. O conteúdo é limites de funções e usaremos a definição formal de limite em termos de epsilon e delta.

Passo 2

Segundo a definição, dizer que
lim_{x\to2}f(x)=L significa que para todo epsilon>0 existe delta>0 tal que, se |x-2|<delta então |f(x)-L|<epsilon.

Passo 3

No nosso caso temos f(x)=5 constante e L=5. Logo
|f(x)-L| = |5-5| = 0 para todo x.

Passo 4

Como 0 < epsilon para qualquer epsilon>0, basta escolher qualquer delta>0 (por exemplo, delta=1). Então sempre que |x-2|<delta segue que |f(x)-5|=0<epsilon, atendendo à definição.

Passo 5

Portanto, mostramos que para todo epsilon>0 existe delta>0 que satisfaz a condição, o que prova que
lim_{x\to2}5 = 5.

Resposta

Como |5-5|=0<epsilon para qualquer epsilon>0 e basta escolher qualquer delta>0, concluímos que \lim_{x\to2}5 = 5.

Exercícios relacionados