Prove via
que:
.
Passo 1
O problema pede para provar, via definição de epsilon-delta, que
lim_{x\to2}5 = 5. O conteúdo é limites de funções e usaremos a definição formal de limite em termos de epsilon e delta.
lim_{x\to2}5 = 5. O conteúdo é limites de funções e usaremos a definição formal de limite em termos de epsilon e delta.
Passo 2
Segundo a definição, dizer que
lim_{x\to2}f(x)=L significa que para todo epsilon>0 existe delta>0 tal que, se |x-2|<delta então |f(x)-L|<epsilon.
lim_{x\to2}f(x)=L significa que para todo epsilon>0 existe delta>0 tal que, se |x-2|<delta então |f(x)-L|<epsilon.
Passo 3
No nosso caso temos f(x)=5 constante e L=5. Logo
|f(x)-L| = |5-5| = 0 para todo x.
|f(x)-L| = |5-5| = 0 para todo x.
Passo 4
Como 0 < epsilon para qualquer epsilon>0, basta escolher qualquer delta>0 (por exemplo, delta=1). Então sempre que |x-2|<delta segue que |f(x)-5|=0<epsilon, atendendo à definição.
Passo 5
Portanto, mostramos que para todo epsilon>0 existe delta>0 que satisfaz a condição, o que prova que
lim_{x\to2}5 = 5.
lim_{x\to2}5 = 5.
Resposta
Como |5-5|=0<epsilon para qualquer epsilon>0 e basta escolher qualquer delta>0, concluímos que \lim_{x\to2}5 = 5.