Prove que para X assumindo valores reais não negativos:
E[X]=integral0^infty P(X>x) d x=integral0^infty[1-F(x)] d x.

Passo 1

O problema pede para mostrarmos que, para uma variável aleatória X>=0, vale
E[X] =integral0^inftyP(X>x),dx =integral0^inftyl[1-F(x)r],dx,
onde F(x)=P(X<= x) é a função de distribuição acumulada de X. Vamos usar a representação de P(X>x) como uma integral em relação a dF e aplicar o Teorema de Fubini (ou Tonelli), que permite trocar a ordem de integração em integrais de função não negativa.

Passo 2

Escrevemos
P(X>x) =integral(x,infty)dF(t),
porque, por definição de medida de probabilidade, a probabilidade de X>x é a medida do intervalo (x,infty). Logo
integral0^inftyP(X>x),dx =integral0^inftyl(integral(x,infty)dF(t)r),dx

Passo 3

Como a função (x,t)mapsto 1t>x é não negativa, podemos aplicar o Teorema de Tonelli e trocar a ordem das integrais:
integral0^inftyintegral(x,infty)dF(t),dx =integral0^inftyintegral0^tdx,dF(t)
Nesse passo, interpretamos integral(x,infty)dF(t) como integral0^infty1t>x,dF(t) e depois invertemos integrais.

Passo 4

Agora a integral interna em x é direta:
integral0^tdx = t
Então
integral0^inftyP(X>x),dx =integral0^inftyt,dF(t) =E[X],
pois por definição de esperança para X>=0 temos E[X]=integral0^inftyt,dF(t). Além disso, como P(X>x)=1-F(x) para todo x, segue imediatamente
E[X] =integral0^infty[1-F(x)],dx

Resposta

boxedE[X] =integral0^inftyP(X>x),dx =integral0^inftyl[1-F(x)r],dx

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