Prove que para
assumindo valores reais não negativos:
.
Passo 1
O problema pede para mostrarmos que, para uma variável aleatória
, vale
onde
é a função de distribuição acumulada de
. Vamos usar a representação de
como uma integral em relação a
e aplicar o Teorema de Fubini (ou Tonelli), que permite trocar a ordem de integração em integrais de função não negativa.
Passo 2
Escrevemos
porque, por definição de medida de probabilidade, a probabilidade de
é a medida do intervalo
. Logo
Passo 3
Como a função
é não negativa, podemos aplicar o Teorema de Tonelli e trocar a ordem das integrais:
Nesse passo, interpretamos
como
e depois invertemos integrais.
Passo 4
Agora a integral interna em
é direta:
Então
pois por definição de esperança para
temos
. Além disso, como
para todo
, segue imediatamente