Seja X sim Unif(-a, a), determine o valor do parâmetro a de modo que:
P(|X|<1)=P(|X|>2).

Passo 1

O enunciado diz que X é uniforme em [-a,a] e pede o valor de a>0 tal que
Pl(|X|<1r)=Pl(|X|>2r)
O conteúdo envolvido é a distribuição uniforme contínua, em que probabilidades são calculadas como razão de comprimentos de intervalos.

Passo 2

Vamos calcular Pl(|X|<1r). Como Xsim Unif(-a,a), o comprimento total do suporte é 2a. O evento |X|<1 corresponde ao intervalo (-1,1)cap[-a,a]. Para a>1, esse intervalo tem comprimento 2, então
Pl(|X|<1r) =comprimento de (-1,1)2a =22a =1a
Para a<=1, teríamos P(|X|<1)=1, mas isso não se iguala a P(|X|>2) (que seria zero), então descartamos a<=1.

Passo 3

Agora calculamos Pl(|X|>2r). O evento |X|>2 é [-a,a]setminus[-2,2]. Se a>2, o comprimento dessa região é 2a-4, daí
Pl(|X|>2r) =2a-42a =1-2a
Para a<=2, teria P(|X|>2)=0, que não se iguala a 1/a (positivo), logo também descartamos a<=2.

Passo 4

Restrito ao caso a>2, impomos
1a ;=;1-2a
Multiplicando ambos os lados por a vem
1 = a - 2 Longrightarrow a = 3

Passo 5

Verificamos que a=3 satisfaz a>2, então é solução válida.

Resposta

a=3

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