Prove que Z cong n Z, n neq 0.

Passo 1

Vamos provar que os conjuntos dos números inteiros Z e dos múltiplos de um inteiro n Z (onde n neq 0) são isomorfos. Isso faz parte da matéria de Teoria dos Grupos, especificamente lidando com isomorfismos de grupos. Para resolver isso, vamos precisar definir uma função que mostre uma correspondência um a um e sobre entre esses conjuntos, preservando a estrutura de grupo.

Passo 2

Primeiro, vamos definir uma função varphi: Z to n Z da seguinte forma:
varphi(k) = nk
Isso significa que para cada inteiro k, a função varphi mapeia k para seu múltiplo por n.

Passo 3

Agora, precisamos verificar se essa função varphi é um homomorfismo de grupos. Em termos simples, isso significa que a função deve preservar a operação do grupo, que no caso de Z e n Z é a adição.
Vamos verificar:
varphi(a + b) = n(a + b) = na + nb = varphi(a) + varphi(b)
Como varphi(a + b) = varphi(a) + varphi(b), a função varphi preserva a operação de adição e, portanto, é um homomorfismo de grupos.

Passo 4

Em seguida, precisamos mostrar que a função varphi é injetora. Isso significa que se varphi(a) = varphi(b), então necessariamente a = b.
Suponha que varphi(a) = varphi(b):
na = nb
Dividindo ambos os lados por n (já que n neq 0):
a = b
Portanto, varphi é injetora.

Passo 5

Por fim, vamos mostrar que a função varphi é sobrejetora. Isso significa que para todo elemento y in n Z, existe um k in Z tal que varphi(k) = y.
Seja y in n Z. Então, por definição, y = nm para algum m in Z. Escolhendo k = m, temos:
varphi(k) = nk = nm = y
Portanto, para cada y in n Z, existe um k in Z tal que varphi(k) = y, tornando varphi sobrejetora.

Resposta

Como a função varphi(k) = nk é um homomorfismo de grupos, injetora e sobrejetora, concluímos que Z cong n Z para todo n neq 0.

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