Prove que
.
Passo 1
Vamos provar que os conjuntos dos números inteiros
e dos múltiplos de um inteiro
(onde
) são isomorfos. Isso faz parte da matéria de Teoria dos Grupos, especificamente lidando com isomorfismos de grupos. Para resolver isso, vamos precisar definir uma função que mostre uma correspondência um a um e sobre entre esses conjuntos, preservando a estrutura de grupo.
Passo 2
Primeiro, vamos definir uma função
da seguinte forma:
Isso significa que para cada inteiro
, a função
mapeia
para seu múltiplo por
.
Passo 3
Agora, precisamos verificar se essa função
é um homomorfismo de grupos. Em termos simples, isso significa que a função deve preservar a operação do grupo, que no caso de
e
é a adição.
Vamos verificar:
Como
, a função
preserva a operação de adição e, portanto, é um homomorfismo de grupos.
Passo 4
Em seguida, precisamos mostrar que a função
é injetora. Isso significa que se
, então necessariamente
.
Suponha que
:
Dividindo ambos os lados por
(já que
):
Portanto,
é injetora.
Passo 5
Por fim, vamos mostrar que a função
é sobrejetora. Isso significa que para todo elemento
, existe um
tal que
.
Seja
. Então, por definição,
para algum
. Escolhendo
, temos:
Portanto, para cada
, existe um
tal que
, tornando
sobrejetora.
Resposta
Como a função
é um homomorfismo de grupos, injetora e sobrejetora, concluímos que
para todo
.