Uma proveta cilíndrica graduada em divisões de igual volume contém água e H g\left(\rho_{H g}=13,6 g / c m^{3}\right). Mergulha-se um corpo sólido na proveta, vindo ele a flutuar na superfície de separação água-Hg. O nível de Hg sobe 80 divisões e o nível de água, 150 divisões. Calcule a densidade do sólido.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações (peguei os números diretamente do enunciado):
  • A proveta é graduada em divisões de igual volume (cada divisão tem volume constante que chamaremos de v).
  • A densidade do mercúrio é \rho_{Hg}=13,6\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
  • Ao mergulhar o sólido, o nível do mercúrio sobe 80 divisões.
  • Ao mergulhar o sólido, o nível da água sobe 150 divisões.
    O que o problema pede: calcular a densidade do sólido.

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicado com calma): quando um corpo flutua em um fluido ele está em equilíbrio porque o peso do corpo é exatamente igual à força de empuxo total que os fluidos exercem sobre ele. O empuxo de cada fluido é igual ao peso do volume desse fluido deslocado pelo corpo. Formalmente:
\text{peso do sólido} = \text{empuxo total} = \text{peso do volume de Hg deslocado} + \text{peso do volume de água deslocado}.óá
Agora definimos variáveis e seus significados:
  • V_{Hg}: volume do sólido imerso no mercúrio (isto é, volume de mercúrio deslocado).
  • V_{w}: volume do sólido imerso na água (volume de água deslocado).
  • V: volume total imerso = V_{Hg}+V_{w}.
  • \rho: densidade do sólido (o que queremos).
  • \rho_{Hg}: densidade do mercúrio ( 13,6\\ \mathrm{g/cm^{3}}).
  • \rho_{w}: densidade da água (assumimos \rho_{w}=1,0\\ \mathrm{g/cm^{3}}).
  • g: aceleração da gravidade (cancela-se nas equações, não precisamos do valor numérico).
Equação do equilíbrio (peso = empuxo):
\rho\,V\,g = \rho_{Hg}\,V_{Hg}\,g + \rho_{w}\,V_{w}\,g.
Podemos cancelar g em ambos os lados, ficando:
\rho\,V = \rho_{Hg}\,V_{Hg} + \rho_{w}\,V_{w}.

Passo 3

Relacionando as subidas dos níveis com os volumes deslocados: como cada divisão da proveta tem o mesmo volume v, os volumes deslocados são proporcionais ao número de divisões que subiu. Peguei essas quantidades do enunciado:
V_{Hg}=80\,v,\qquad V_{w}=150\,v.
Logo o volume total imerso é
V = V_{Hg}+V_{w} = (80+150)\,v = 230\,v.
Observação pedagógica: não precisamos saber o valor de v em \mathrm{cm^{3}} porque ele vai se cancelar na razão, desde que as divisões sejam de igual volume (como dito no enunciado).

Passo 4

Substituímos V,V_{Hg},V_{w} na equação do equilíbrio para isolar \rho:
\rho\,(V_{Hg}+V_{w}) = \rho_{Hg}\,V_{Hg} + \rho_{w}\,V_{w}.
Isolando \rho:
\rho = \frac{\rho_{Hg}\,V_{Hg} + \rho_{w}\,V_{w}}{V_{Hg}+V_{w}}.

Passo 5

Agora substituímos V_{Hg}=80\,v e V_{w}=150\,v. O v vai cancelar:
\rho = \frac{\rho_{Hg}\,(80\,v) + \rho_{w}\,(150\,v)}{(80\,v)+(150\,v)} = \frac{\rho_{Hg}\cdot 80 + \rho_{w}\cdot 150}{80+150}.

Passo 6

Substituímos os valores numéricos ( \rho_{Hg}=13,6\\ \mathrm{g/cm^{3}} e \rho_{w}=1,0\\ \mathrm{g/cm^{3}}, peguei \rho_{Hg} do enunciado e \rho_{w}=1,0 como valor padrão da água):
\rho = \frac{13,6\cdot 80 + 1,0\cdot 150}{230}.
Calculando passo a passo:
13,6\cdot 80 = 1088,\qquad 1,0\cdot 150 = 150,
\text{numerador} = 1088 + 150 = 1238,
\rho = \frac{1238}{230}.
Fazendo a divisão:
\frac{1238}{230} = \frac{619}{115} \approx 5,382608\dots
Arredondando com 3 algarismos significativos (suficiente para este problema):
\rho \approx 5,38\\ \mathrm{g/cm^{3}}.

Passo 7

Checagem qualitativa: esse valor fica entre \rho_{w}=1,0 e \rho_{Hg}=13,6, como esperado para um corpo que flutua na interface. Está mais próximo do mercúrio porque parte do volume deslocado foi de mercúrio (80 divisões), o que puxa a densidade média para cima.

Resposta

\rho_{\text{sólido}}=5,38\\ \mathrm{g/cm^{3}}ó

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