Uma proveta cilíndrica graduada em divisões de igual volume contém água e
. Mergulha-se um corpo sólido na proveta, vindo ele a flutuar na superfície de separação água-Hg. O nível de Hg sobe 80 divisões e o nível de água, 150 divisões. Calcule a densidade do sólido.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações (peguei os números diretamente do enunciado):
- A proveta é graduada em divisões de igual volume (cada divisão tem volume constante que chamaremos de
). - A densidade do mercúrio é
. - Ao mergulhar o sólido, o nível do mercúrio sobe
divisões. - Ao mergulhar o sólido, o nível da água sobe
divisões.
O que o problema pede: calcular a densidade do sólido.
Passo 2
Conceito que vamos usar (explicado com calma): quando um corpo flutua em um fluido ele está em equilíbrio porque o peso do corpo é exatamente igual à força de empuxo total que os fluidos exercem sobre ele. O empuxo de cada fluido é igual ao peso do volume desse fluido deslocado pelo corpo. Formalmente:
Agora definimos variáveis e seus significados:
-
: volume do sólido imerso no mercúrio (isto é, volume de mercúrio deslocado). -
: volume do sólido imerso na água (volume de água deslocado). -
: volume total imerso = . -
: densidade do sólido (o que queremos). -
: densidade do mercúrio ( ). -
: densidade da água (assumimos ). -
: aceleração da gravidade (cancela-se nas equações, não precisamos do valor numérico).
Equação do equilíbrio (peso = empuxo):
Podemos cancelar
em ambos os lados, ficando:
Passo 3
Relacionando as subidas dos níveis com os volumes deslocados: como cada divisão da proveta tem o mesmo volume
, os volumes deslocados são proporcionais ao número de divisões que subiu. Peguei essas quantidades do enunciado:
Logo o volume total imerso é
Observação pedagógica: não precisamos saber o valor de
em
porque ele vai se cancelar na razão, desde que as divisões sejam de igual volume (como dito no enunciado).
Passo 4
Substituímos
na equação do equilíbrio para isolar
:
Isolando
:
Passo 5
Agora substituímos
e
. O
vai cancelar:
Passo 6
Substituímos os valores numéricos (
e
, peguei
do enunciado e
como valor padrão da água):
Calculando passo a passo:
Fazendo a divisão:
Arredondando com 3 algarismos significativos (suficiente para este problema):
Passo 7
Checagem qualitativa: esse valor fica entre
e
, como esperado para um corpo que flutua na interface. Está mais próximo do mercúrio porque parte do volume deslocado foi de mercúrio (80 divisões), o que puxa a densidade média para cima.