Na região abdominal, a pressão média necessária para perfurar a pele (epiderme) humana é em torno de 2,0 \cdot 10^{7} \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{2}.
Calcular a força necessária para aplicar uma injeção, cuja ponta da agulha tem diâmetro de \varphi=0,5 \mathrm{~mm}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei o diâmetro da ponta da agulha na imagem enviada).
  • Dado: pressão média necessária para perfurar a pele \,p=2{,}0\cdot10^{7}\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}^{2}.
  • Dado: diâmetro da ponta da agulha \,\varphi=0{,}5\\ \mathrm{mm} (valor fornecido no enunciado e visível na imagem).
  • Pedido: calcular a força F necessária para aplicar a injeção (ou seja, a força que, aplicada sobre a ponta circular da agulha, gera a pressão \,p que perfura a pele).

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicando com calma).
  • Pressão é definida por \,p=\dfrac{F}{A}, onde:
    • \,p é a pressão (em \mathrm{N}/\mathrm{m}^{2}),
    • \,F é a força normal aplicada (em \mathrm{N}),
    • \,A é a área sobre a qual a força é distribuída (em \mathrm{m}^{2}).
  • Isolando \,F obtemos a fórmula que usamos na prática:
F = p\,A.
  • No nosso caso a área \,A é a área da seção circular da ponta da agulha, dada por
A=\pi r^{2},
onde \,r é o raio da ponta.

Passo 3

Converter unidades e calcular o raio.
  • O diâmetro é \,\varphi=0{,}5\\ \mathrm{mm}. Primeiro converto para metros:
\varphi = 0{,}5\\ \mathrm{mm} = 0{,}5\times10^{-3}\\ \mathrm{m} = 5{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{m}.
  • O raio é metade do diâmetro:
r=\dfrac{\varphi}{2} = \dfrac{5{,}0\times10^{-4}}{2}\\ \mathrm{m} = 2{,}5\times10^{-4}\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Calcular a área da ponta da agulha.
  • Usando \,A=\pi r^{2} e o valor de \,r:
A = \pi \left(2{,}5\times10^{-4}\right)^{2}\\ \mathrm{m}^{2}.
  • Elevando ao quadrado:
\left(2{,}5\times10^{-4}\right)^{2} = 6{,}25\times10^{-8}.
  • Portanto
A = \pi \times 6{,}25\times10^{-8}\\ \mathrm{m}^{2} \approx 1{,}9635\times10^{-7}\\ \mathrm{m}^{2}.

Passo 5

Calcular a força necessária usando F=pA.
  • Substituindo \,p=2{,}0\times10^{7}\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}^{2} e o valor de \,A:
F = \left(2{,}0\times10^{7}\right)\left(1{,}9635\times10^{-7}\right)\\ \mathrm{N}.
  • Multiplicando os números:
F \approx 3{,}927\\ \mathrm{N}.
  • Arredondando de forma prática para duas casas significativas:
F \approx 3{,}9\\ \mathrm{N}.

Passo 6

Interpretação rápida e encorajamento (um comentário amigo).
  • 3{,}9\\ \mathrm{N} é uma força pequena: é equivalente à força gerada por um peso de massa aproximadamente 0{,}4\\ \mathrm{kg} sob a gravidade terrestre ( mg\approx0{,}4\times9{,}8\approx3{,}9\\ \mathrm{N}). Então na prática é uma força moderada, algo que o dedo humano exerce facilmente ao empurrar um objeto leve.
  • Bom trabalho! Você agora sabe converter unidades, calcular áreas de círculos e aplicar F=pA — essas receitas aparecem muito em problemas de pressão.

Resposta

F \approx 3{,}9\\ \mathrm{N}

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