Nas próximas duas questōes considere a equação diferencial
Qual das alternativas representa a solução geral da equação diferencial?
a
.
d
.
b
.
c
.
e
.
a
d
b
c
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A gente tem a equação:
Esse tipo de equação é uma equação diferencial linear homogênea de coeficientes constantes. Para resolver, precisamos encontrar a solução geral, que envolve determinar as raízes da equação característica associada. Vamos precisar usar fórmulas de equações polinomiais e entender um pouco sobre tipos de raízes (reais, repetidas ou complexas).
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação característica. Para uma equação diferencial da forma:
A equação característica é:
No nosso caso, comparando com a equação dada:
Temos
e
. Então, a equação característica fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
. Usamos a fórmula de Bhaskara:
Substituindo
e
:
Então, temos duas raízes iguais:
e
.
Passo 4
Quando a equação característica tem duas raízes reais e iguais, a solução geral da equação diferencial é dada por:
Aqui,
e
são constantes arbitrárias, e
é a raiz encontrada. No nosso caso,
, então a solução fica:
Passo 5
Agora, vamos comparar com as opções fornecidas:
a)
b)
c)
d)
e)
b)
c)
d)
e)
A nossa solução foi
, que é exatamente a opção a.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: