Nas próximas duas questōes considere a equação diferencial
y^prime prime-2 y^prime+y=0
Qual das alternativas representa a solução geral da equação diferencial?
a y(t)=c1 e^t+c2 t e^t.
d y(t)=c1 e^(-1-raiz2) t+c2 e^(-1+raiz2) t.
b y(t)=c1 e^-t cos (raiz2 t)+c2 e^-t sin (raiz2 t).
c y(t)=c1 e^(1-raiz2) t+c2 e^(1+raiz2) t.
e y(t)=c1 e^-t+c2 t e^-t.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A gente tem a equação:
y^prime prime - 2 y^prime + y = 0
Esse tipo de equação é uma equação diferencial linear homogênea de coeficientes constantes. Para resolver, precisamos encontrar a solução geral, que envolve determinar as raízes da equação característica associada. Vamos precisar usar fórmulas de equações polinomiais e entender um pouco sobre tipos de raízes (reais, repetidas ou complexas).

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação característica. Para uma equação diferencial da forma:
y^prime prime + a y^prime + b y = 0
A equação característica é:
r^2 + a r + b = 0
No nosso caso, comparando com a equação dada:
y^prime prime - 2 y^prime + y = 0
Temos a = -2 e b = 1 . Então, a equação característica fica:
r^2 - 2 r + 1 = 0

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de r . Usamos a fórmula de Bhaskara:
r = -a pm raiza^2 - 4 b2
Substituindo a = -2 e b = 1 :
r = -(-2) pm raiz(-2)^2 - 4 cdot 12 = 2 pm raiz4 - 42 = 2 pm raiz02 = 22 = 1
Então, temos duas raízes iguais: r = 1 e r = 1 .

Passo 4

Quando a equação característica tem duas raízes reais e iguais, a solução geral da equação diferencial é dada por:
y(t) = (c1 + c2 t) e^r t
Aqui, c1 e c2 são constantes arbitrárias, e r é a raiz encontrada. No nosso caso, r = 1 , então a solução fica:
y(t) = (c1 + c2 t) e^t

Passo 5

Agora, vamos comparar com as opções fornecidas:
a) y(t) = c1 e^t + c2 t e^t
b) y(t) = c1 e^-t cos (raiz2 t) + c2 e^-t sin (raiz2 t)
c) y(t) = c1 e^(1-raiz2) t + c2 e^(1+raiz2) t
d) y(t) = c1 e^(-1-raiz2) t + c2 e^(-1+raiz2) t
e) y(t) = c1 e^-t + c2 t e^-t
A nossa solução foi y(t) = (c1 + c2 t) e^t , que é exatamente a opção a.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(t) = c1 e^t + c2 t e^t

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