Nas próximas duas questōes considere a equação diferencial
y^prime prime-2 y^prime+y=0
A equação característica da equação diferencial é:
a r^2-2 r-1=0.
d r^2+2 r-1=0.
b r^2-2 r+1=0.
c r^2-r+2=0.
e r^2+r-2=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou uma questão sobre equações diferenciais, especificamente sobre encontrar a equação característica de uma equação diferencial do tipo y'' - 2y' + y = 0 . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma equação característica e como ela se relaciona com equações diferenciais de segunda ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para resolver uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes, como y'' + a y' + b y = 0 , usamos a equação característica. Essa equação nos ajuda a encontrar as soluções da equação diferencial.

Passo 3

A equação característica é formada substituindo y'' por r^2 , y' por r e y por 1 na equação diferencial. Ou seja, para a equação y'' + a y' + b y = 0 , a característica fica:
r^2 + a r + b = 0

Passo 4

Vamos aplicar isso à equação que você forneceu: y'' - 2y' + y = 0 . Aqui, comparando com a forma geral y'' + a y' + b y = 0 , identificamos que:
  • a = -2
  • b = 1

Passo 5

Substituindo esses valores na equação característica:
r^2 + (-2)r + 1 = 0
Simplificando:
r^2 - 2r + 1 = 0

Passo 6

Agora, vamos comparar essa equação característica com as opções fornecidas:
a) r^2 - 2 r - 1 = 0
b) r^2 - 2 r + 1 = 0
c) r^2 - r + 2 = 0
d) r^2 + 2 r - 1 = 0
e) r^2 + r - 2 = 0

Passo 7

Vemos que a equação que encontramos r^2 - 2r + 1 = 0 corresponde à opção b.

Resposta

A equação característica correta é r^2 - 2 r + 1 = 0 . Portanto, a opção b é a correta.

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