Para os próximos dois problemas, considere a lei de resfriamento/aquecimento de Newton:
\frac{d T}{d t}=k\left(T-T_{m}\right)
em que T=T(t) é a temperatura de um objeto no instante t \geq 0 e T_{m} é a temperatura do meio que se encontra.
3. Um termômetro é levado de uma sala onde a temperatura é de 20^{0} \mathrm{C} para fora, onde a temperatura é de 5^{0} C. Após 1 / 2 minuto o termômetro marca 15^{0} C.
a) Determine a temperatura marcada no termômetro como função do tempo.
b) Qual será a leitura do termômetro após 1 minuto?
c) Em quanto tempo o termômetro irá marcar 10^{\circ} \mathrm{C} ?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados (pegos do enunciado):
    • Temperatura do meio: T_{m}=5^\circ\mathrm{C}.
    • Temperatura inicial do termômetro quando sai da sala (em t=0): T(0)=20^\circ\mathrm{C}.
    • Medida após meia minuto: T\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=15^\circ\mathrm{C}.
    • A variável t será medida em minutos (já que a informação do enunciado usa \tfrac{1}{2} minuto e 1 minuto).
  • O que se pede:
    (a) determinar a função T(t) que dá a leitura do termômetro em função do tempo;
    (b) calcular a leitura após 1 minuto;
    (c) determinar em quanto tempo o termômetro marcará 10^\circ\mathrm{C}.

Passo 2

Relembrando a lei de Newton e como resolvemos a equação diferencial (explicação passo a passo, bem mastigada).
A lei de Newton do resfriamento/aquecimento dada é
\frac{dT}{dt}=k\bigl(T-T_{m}\bigr),
onde:
  • T=T(t) é a temperatura do objeto no instante t,
  • T_{m} é a temperatura do meio (constante),
  • k é uma constante (taxa) que depende do sistema; se o objeto esfria em relação ao meio, k<0; se aquece em relação ao meio, k>0.
Para resolver, tratamos como uma equação diferencial separável. Passos para separar e integrar:
  1. Colocar os termos com T de um lado e t do outro:
\frac{dT}{T-T_{m}}=k\,dt.
  1. Integrar ambos os lados (integração indefinida):
\int \frac{dT}{T-T_{m}}=\int k\,dt.
  1. A integral do lado esquerdo é um logaritmo natural:
\ln\bigl|T-T_{m}\bigr|=kt+C,
onde C é constante de integração.
  1. Exponenciando ambos os lados:
\bigl|T-T_{m}\bigr|=e^{kt+C}=C_1 e^{kt},
onde C_1=e^{C}>0. Como a diferença T-T_m aqui será positiva no início (20−5=15>0) e a solução contínua conserva o sinal, podemos retirar o valor absoluto e escrever
T-T_{m}=C_1 e^{kt}.
  1. Usando a condição inicial T(0)=20^\circ\mathrm{C}, temos
T(0)-T_{m}=C_1 \quad\Rightarrow\quad C_1=20-5=15.
Portanto a solução geral com a constante já determinada fica
\boxed{T(t)=T_{m}+(T(0)-T_{m})e^{kt}=5+15e^{kt}.}
Ainda falta encontrar k. Usaremos a informação T\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=15 para isso.

Passo 3

Determinar k usando T\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=15.
Substituindo t=\tfrac{1}{2} em T(t)=5+15e^{kt}:
15=5+15e^{k/2}.
Isolando o exponencial:
15-5=15e^{k/2}\quad\Rightarrow\quad 10=15e^{k/2}.
Logo
e^{k/2}=\frac{10}{15}=\frac{2}{3}.
Tomando logaritmo natural:
\frac{k}{2}=\ln\!\left(\frac{2}{3}\right)\quad\Rightarrow\quad k=2\ln\!\left(\frac{2}{3}\right).
Observação: \ln\!\left(\frac{2}{3}\right)<0, logo k<0, o que faz sentido (o termômetro está esfriando em relação ao meio mais frio).
Substituindo k na expressão de T(t) obtemos a forma final da função temperatura. Podemos simplificar usando propriedades de potências:
e^{kt}=e^{2t\ln(2/3)}=\left(e^{\ln(2/3)}\right)^{2t}=\left(\frac{2}{3}\right)^{2t}.
Portanto uma forma limpa da solução é
\boxed{T(t)=5+15\left(\dfrac{2}{3}\right)^{2t}.}

Passo 4

Calcular a leitura após 1 minuto (item b), usando a função encontrada.
Substituindo t=1 em T(t)=5+15\left(\dfrac{2}{3}\right)^{2t}:
T(1)=5+15\left(\dfrac{2}{3}\right)^{2}=5+15\cdot\frac{4}{9}=5+\frac{60}{9}.
Fazendo as contas:
\frac{60}{9}=\frac{20}{3},\quad 5=\frac{15}{3},
logo
T(1)=\frac{15}{3}+\frac{20}{3}=\frac{35}{3}\,^\circ\mathrm{C}\approx11{,}666\ldots^\circ\mathrm{C}.

Passo 5

Determinar o tempo necessário para o termômetro marcar 10^\circ\mathrm{C} (item c).
Partimos de T(t)=10:
10=5+15e^{kt}.
Isolando o exponencial:
10-5=15e^{kt}\quad\Rightarrow\quad 5=15e^{kt}\quad\Rightarrow\quad e^{kt}=\frac{1}{3}.
Tomando logaritmo:
kt=\ln\!\left(\frac{1}{3}\right).
Usando k=2\ln\!\left(\dfrac{2}{3}\right), obtemos
t=\frac{\ln\!\left(\dfrac{1}{3}\right)}{2\ln\!\left(\dfrac{2}{3}\right)}.
Podemos reescrever de forma positiva usando \ln(1/3)=-\ln 3 e \ln(2/3)=\ln2-\ln3, mas a forma acima é correta. Calculando numericamente:
t\approx\frac{-1{,}098612289}{-0{,}810930216}=1{,}354\\ \text{minutos}\approx81{,}24\\ \text{segundos}.

Resposta

(a) T(t)=5+15\left(\dfrac{2}{3}\right)^{2t}.
(b) T(1)=\dfrac{35}{3}\,^\circ\mathrm{C}\approx11{,}666\ldots^\circ\mathrm{C}.
(c) t=\dfrac{\ln\!\left(\tfrac{1}{3}\right)}{2\ln\!\left(\tfrac{2}{3}\right)}\approx1{,}354\\ \text{minutos}\\ (\approx81{,}24\\ \text{segundos}).

Exercícios relacionados