Para os próximos dois problemas, considere a lei de resfriamento/aquecimento de Newton:
\frac{d T}{d t}=k\left(T-T_{m}\right)
em que T=T(t) é a temperatura de um objeto no instante t \geq 0 e T_{m} é a temperatura do meio que se encontra.
3. Um termômetro é levado de uma sala onde a temperatura é de 20^{0} \mathrm{C} para fora, onde a temperatura é de 5^{0} C. Após 1 / 2 minuto o termômetro marca 15^{0} C.
a) Determine a temperatura marcada no termômetro como função do tempo.
b) Qual será a leitura do termômetro após 1 minuto?
c) Em quanto tempo o termômetro irá marcar 10^{\circ} \mathrm{C} ?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados (pegos do enunciado):
Temperatura do meio: T_{m}=5^\circ\mathrm{C}.
Temperatura inicial do termômetro quando sai da sala (em t=0): T(0)=20^\circ\mathrm{C}.
Medida após meia minuto: T\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=15^\circ\mathrm{C}.
A variável t será medida em minutos (já que a informação do enunciado usa \tfrac{1}{2} minuto e 1 minuto).
O que se pede:
(a) determinar a função T(t) que dá a leitura do termômetro em função do tempo;
(b) calcular a leitura após 1 minuto;
(c) determinar em quanto tempo o termômetro marcará 10^\circ\mathrm{C}.
Passo 2
Relembrando a lei de Newton e como resolvemos a equação diferencial (explicação passo a passo, bem mastigada).
A lei de Newton do resfriamento/aquecimento dada é
\frac{dT}{dt}=k\bigl(T-T_{m}\bigr),
onde:
T=T(t) é a temperatura do objeto no instante t,
T_{m} é a temperatura do meio (constante),
k é uma constante (taxa) que depende do sistema; se o objeto esfria em relação ao meio, k<0; se aquece em relação ao meio, k>0.
Para resolver, tratamos como uma equação diferencial separável. Passos para separar e integrar:
Colocar os termos com T de um lado e t do outro:
\frac{dT}{T-T_{m}}=k\,dt.
Integrar ambos os lados (integração indefinida):
\int \frac{dT}{T-T_{m}}=\int k\,dt.
A integral do lado esquerdo é um logaritmo natural:
\ln\bigl|T-T_{m}\bigr|=kt+C,
onde C é constante de integração.
Exponenciando ambos os lados:
\bigl|T-T_{m}\bigr|=e^{kt+C}=C_1 e^{kt},
onde C_1=e^{C}>0. Como a diferença T-T_m aqui será positiva no início (20−5=15>0) e a solução contínua conserva o sinal, podemos retirar o valor absoluto e escrever
T-T_{m}=C_1 e^{kt}.
Usando a condição inicial T(0)=20^\circ\mathrm{C}, temos
T(0)-T_{m}=C_1 \quad\Rightarrow\quad C_1=20-5=15.
Portanto a solução geral com a constante já determinada fica
\boxed{T(t)=T_{m}+(T(0)-T_{m})e^{kt}=5+15e^{kt}.}
Ainda falta encontrar k. Usaremos a informação T\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=15 para isso.
Passo 3
Determinar k usando T\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=15.