Nos próximos exercícios, as coordenadas são expressas num sistema cartesiano.
Três vértices de um retângulo são e : Determinar o quarto vértice e a área.
Passo 1
O enunciado dá três vértices de um retângulo em um sistema de coordenadas: , e . Precisamos achar o quarto vértice e a área do retângulo. Vamos usar geometria vetorial: em todo retângulo os lados opostos são paralelos e adjacentes são perpendiculares, e a área é o produto das medidas de dois lados adjacentes.
Passo 2
Escolhemos como lados adjacentes os segmentos e BC. Calculamos os vetores:
AB = B - A = (7-2,,-1-(-1)) = (5,0),
BC = C - B = (7-7,;3-(-1)) = (0,4)
Como ABcdotBC = 5cdot0 + 0cdot4 = 0, os lados são perpendiculares, confirmando que ABC forma dois lados consecutivos do retângulo.
Passo 3
Em qualquer paralelogramo (e retângulo é um caso especial) vale
AB + BC = AC,
e o quarto vértice D satisfaz
AD = BC
Em coordenadas, isso dá
D = A + BC = (2,-1) + (0,4) = (2,3)
Alternativamente, pela regra do paralelogramo D = A + C - B = (2,-1)+(7,3)-(7,-1) = (2,3).
Passo 4
Agora calculamos as medidas dos lados:
|AB| = raiz5^2 + 0^2 = 5,
|BC| = raiz0^2 + 4^2 = 4
A área do retângulo é o produto dessas medidas:
Área = 5 times 4 = 20 Á
Resposta
O quarto vértice é (2,3) e a área do retângulo é 20.