Nos próximos exercícios, as coordenadas são expressas num sistema cartesiano.
Três vértices de um retângulo são (2,-1),(7,-1) e (7 ; 3) : Determinar o quarto vértice e a área.

Passo 1

O enunciado dá três vértices de um retângulo em um sistema de coordenadas: A=(2,-1), B=(7,-1) e C=(7,3). Precisamos achar o quarto vértice D e a área do retângulo. Vamos usar geometria vetorial: em todo retângulo os lados opostos são paralelos e adjacentes são perpendiculares, e a área é o produto das medidas de dois lados adjacentes.

Passo 2

Escolhemos como lados adjacentes os segmentos AB e BC. Calculamos os vetores:
AB = B - A = (7-2,,-1-(-1)) = (5,0),
BC = C - B = (7-7,;3-(-1)) = (0,4)
Como ABcdotBC = 5cdot0 + 0cdot4 = 0, os lados são perpendiculares, confirmando que ABC forma dois lados consecutivos do retângulo.

Passo 3

Em qualquer paralelogramo (e retângulo é um caso especial) vale
AB + BC = AC,
e o quarto vértice D satisfaz
AD = BC
Em coordenadas, isso dá
D = A + BC = (2,-1) + (0,4) = (2,3)
Alternativamente, pela regra do paralelogramo D = A + C - B = (2,-1)+(7,3)-(7,-1) = (2,3).

Passo 4

Agora calculamos as medidas dos lados:
|AB| = raiz5^2 + 0^2 = 5,
|BC| = raiz0^2 + 4^2 = 4
A área do retângulo é o produto dessas medidas:
Área = 5 times 4 = 20 Á

Resposta

O quarto vértice é (2,3) e a área do retângulo é 20.

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