(2.0 pts.) Calcule o termo máximo do desenvolvimento de
\left(2+\frac{1}{3}\right)^{30}

Passo 1

O enunciado pede o termo de maior valor absoluto no desenvolvimento de
\Bigl(2 + \tfrac13\Bigr)^{30}.
O conteúdo usado será o Teorema do Binômio de Newton e o critério de razão entre termos consecutivos para encontrar onde o termo atinge seu valor máximo.

Passo 2

Pelo binômio de Newton, o termo geral (começando em k=0) é
T_{k} = \binom{30}{k}\,2^{30-k}\,\Bigl(\tfrac13\Bigr)^{\,k},\quad k=0,1,2,\dots,30.

Passo 3

Para ver em que k o termo T_k é máximo, comparamos T_{k+1} e T_k.
\frac{T_{k+1}}{T_k} = \frac{\binom{30}{k+1}\,2^{30-(k+1)}\,(1/3)^{k+1}} {\binom{30}{k}\,2^{30-k}\,(1/3)^k} = \frac{30-k}{k+1}\,\frac1{2}\,\frac1{3} = \frac{30-k}{6\,(k+1)}.
Queremos \tfrac{T_{k+1}}{T_k}>1, isto é,
\frac{30-k}{6\,(k+1)}>1 \;\Longrightarrow\; 30-k>6(k+1) \;\Longrightarrow\; 30-k>6k+6 \;\Longrightarrow\; 24>7k \;\Longrightarrow\; k<\frac{24}{7}\approx3{,}43.
Logo T_k cresce enquanto k\le3 e decresce a partir de k\ge4. O máximo ocorre em k=4.

Passo 4

O termo de índice k=4 é
T_{4} = \binom{30}{4}\,2^{30-4}\,\Bigl(\tfrac13\Bigr)^{4}.
Calculamos
\binom{30}{4} = \frac{30\cdot29\cdot28\cdot27}{4\cdot3\cdot2\cdot1} =27405.

Passo 5

Portanto o termo máximo é
T_{\max} = T_{4} = 27405 \;2^{26}\;\frac{1}{3^4} =27405\;\frac{2^{26}}{81}.

Resposta

O termo de maior valor é
\boxed{T_{\max} = \binom{30}{4}\,2^{26}\,\Bigl(\tfrac{1}{3}\Bigr)^{4} =27405\,\frac{2^{26}}{81}}.

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