(0.5 pt) Considerando A=[rrr-1 & 1 & 2 -1 & 2 & 1 3 & -3 & 1], determine:
(a) det A.
(b) se existir, a inversa da matriz A, utilizando operações elementares e exibindo-as.
(c) det A^-1 e 1det A. Qual a relação entre esses determinantes?
(d) det(3 A^t) e 3 det(A^t). Qual a relação entre esses determinantes?

Passo 1

O enunciado trata de uma matriz AinR^3times3 e pede:
  • (a) calcular det A;
  • (b), se existir, achar A^-1 por operações elementares, exibindo-as;
  • (c) comparar det(A^-1) e tfrac1det A;
  • (d) comparar det(3A^t) e 3,det(A^t).
Para resolver vamos usar:
  • regra de Sarrus e propriedades de determinante;
  • método de Gauss–Jordan para a inversa;
  • as propriedades det(A^-1)=1/det(A), det(kA)=k^ndet(A) e det(A^t)=det(A).

Passo 2

Calcular det A pela regra de Sarrus:
det A = -1 & 1 & 2 -1 & 2 & 1 3 & -3 & 1 =(-1)cdot2cdot1 + 1cdot1cdot3 + 2cdot(-1)cdot(-3) -l(2cdot2cdot3 +(-1)cdot1cdot(-3)+1cdot(-1)cdot1r) =7 -14 = -7

Passo 3

Para achar montamos a aumentada e aplicamos Gauss–Jordan:
Daí

Passo 4

Como det A=-7, segue
detl(A^-1r) =1det A =-tfrac17
Portanto det(A^-1) coincide com tfrac1det A, conforme a propriedade geral.

Passo 5

Para matrizes 3times3 vale det(kA)=k^3det(A) e det(A^t)=det(A). Logo
detl(3A^tr) =3^3detl(A^tr) =27det(A) =27times(-7) =-189,
enquanto
3,detl(A^tr) =3det(A) =3times(-7) =-21
Assim det(3A^t)=27,det(A^t)neq3,det(A^t).

Resposta

(a) det A=-7.
(b) A^-1=17-5 & 7 & 3-4 & 7 & 13 & 0 & 1
(c) det(A^-1)=-tfrac17 e tfrac1det A=-tfrac17; de fato det(A^-1)=1/det(A).
(d) det(3A^t)=-189 e 3,det(A^t)=-21; em geral det(kA)=k^ndet(A).

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