(0.5 pt) Mostre que:
Se
é uma matriz quadrada tal que
então
e
.
Se
Passo 1
O enunciado afirma que
é matriz quadrada real tal que
Queremos mostrar duas coisas:
- Que
é invertível e sua inversa é , isto é,
- Que
Passo 2
Da igualdade
podemos tomar a transposta dos dois lados. Como
e
, obtemos
Logo
Isto mostra que
é simultaneamente inversa à esquerda e à direita de
. Para matrizes quadradas, basta ter inversa à esquerda (ou à direita) para concluir que ela é a inversa única. Portanto
Passo 3
Agora vamos ao determinante. Da propriedade multiplicativa do determinante segue
Como
, temos
. E sabe-se também que
. Logo