(0.5 pt) Mostre que:
Se P é uma matriz quadrada tal que P^t cdot P=I então P^-1=P^t e det P= pm 1.

Passo 1

O enunciado afirma que P é matriz quadrada real tal que
P^tP = I
Queremos mostrar duas coisas:
  1. Que P é invertível e sua inversa é P^t, isto é,
P^-1 = P^t
  1. Que
det P = pm 1

Passo 2

Da igualdade
P^tP = I
podemos tomar a transposta dos dois lados. Como (AB)^t=B^tA^t e I^t=I, obtemos
(P^tP)^t = P^t,t,P^t = P,P^t = I
Logo
P^tP = I e P,P^t = I
Isto mostra que P^t é simultaneamente inversa à esquerda e à direita de P. Para matrizes quadradas, basta ter inversa à esquerda (ou à direita) para concluir que ela é a inversa única. Portanto
P^-1 = P^t

Passo 3

Agora vamos ao determinante. Da propriedade multiplicativa do determinante segue
det(P^tP) = det(P^t);det(P)
Como P^tP=I, temos det(P^tP)=det I=1. E sabe-se também que det(P^t)=det(P). Logo
(det P)^2 = 1 Longrightarrow det P = pm 1

Resposta

P^-1=P^t e det P=pm1.

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