( 0.5 pt ) Decida se as afirmações dadas são verdadeiras (V) ou falsas (F), justificando sua resposta com um argumento lógico ou um contra-exemplo.
(a) ( ) Se A e B são matrizes quadradas de ondem n então det(A-B)=det A-det B
(b) ( ) Se A é uma matriz quadrada de ordem 4 então det(3 A)=3 det A.
(c) ( ) Se B=P^-1 A P, para alguma matriz P inversível, então det B=det A.
(d) ( ) Se A é uma matriz quadrada de ordem 4 então det(-A)=-det A.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente tem quatro afirmações sobre determinantes de matrizes quadradas e precisa decidir se são verdadeiras ou falsas. Para isso, vamos usar conceitos de determinantes, como propriedades de matrizes semelhantes, escalonamento de matrizes e comportamento do determinante em operações como subtração e multiplicação. Vamos resolver cada item passo a passo.

Passo 2

(a) Se A e B são matrizes quadradas de ordem n então det(A - B) = det A - det B .
Primeiro, vamos lembrar que o determinante não é uma função linear. Isso significa que, em geral, det(A + B) neq det A + det B . O mesmo vale para a subtração.
Contra-exemplo:
Vamos considerar matrizes 2x2 simples:
  • Seja A = I (a matriz identidade), então det A = 1 .
  • Seja B = 2I , então det B = 2^2 = 4 .
Agora, A - B = I - 2I = -I , e det(A - B) = det(-I) = (-1)^2 = 1 .
Mas det A - det B = 1 - 4 = -3 .
Como 1 neq -3 , a afirmação é falsa.

Passo 3

(b) Se A é uma matriz quadrada de ordem 4 então det(3A) = 3 det A .
Aqui, precisamos lembrar que quando multiplicamos uma matriz por um escalar k , o determinante multiplica por k^n , onde n é a ordem da matriz.
Então, para uma matriz 4x4:
det(3A) = 3^4 det A = 81 det A
Comparando com a afirmação, que diz det(3A) = 3 det A , vemos que:
81 det A neq 3 det A
Portanto, a afirmação é falsa.

Passo 4

(c) Se B = P^-1 A P , para alguma matriz P inversível, então det B = det A .
Essa é uma propriedade importante dos determinantes. Quando duas matrizes são semelhantes, ou seja, uma é obtida pela relação B = P^-1 A P , elas têm o mesmo determinante. Isso porque:
det(B) = det(P^-1 A P) = det(P^-1) cdot det(A) cdot det(P)
Sabendo que det(P^-1) = 1det(P) e det(P) se cancela:
det(B) = det(A)
Portanto, a afirmação é verdadeira.

Passo 5

(d) Se A é uma matriz quadrada de ordem 4 então det(-A) = -det A .
Vamos lembrar que multiplicar uma matriz por -1 afeta o determinante de acordo com a ordem da matriz. A regra geral é:
det(-A) = (-1)^n det A
Para uma matriz de ordem 4:
det(-A) = (-1)^4 det A = 1 cdot det A = det A
A afirmação diz que det(-A) = -det A , mas vimos que na verdade:
det(-A) = det A
Portanto, a afirmação é falsa.

Resposta

  • (a) Falsa
  • (b) Falsa
  • (c) Verdadeira
  • (d) Falsa

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