( 0.5 pt ) Decida se as afirmações dadas são verdadeiras (V) ou falsas (F), justificando sua resposta com um argumento lógico ou um contra-exemplo.
(a) ( ) Se
e
são matrizes quadradas de ondem
então
(b) ( ) Se
é uma matriz quadrada de ordem 4 então
.
(c) ( ) Se
, para alguma matriz
inversível, então
.
(d) ( ) Se
é uma matriz quadrada de ordem 4 então
.
(a) ( ) Se
(b) ( ) Se
(c) ( ) Se
(d) ( ) Se
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente tem quatro afirmações sobre determinantes de matrizes quadradas e precisa decidir se são verdadeiras ou falsas. Para isso, vamos usar conceitos de determinantes, como propriedades de matrizes semelhantes, escalonamento de matrizes e comportamento do determinante em operações como subtração e multiplicação. Vamos resolver cada item passo a passo.
Passo 2
(a) Se
e
são matrizes quadradas de ordem
então
.
Primeiro, vamos lembrar que o determinante não é uma função linear. Isso significa que, em geral,
. O mesmo vale para a subtração.
Contra-exemplo:
Vamos considerar matrizes 2x2 simples:
Vamos considerar matrizes 2x2 simples:
- Seja
(a matriz identidade), então . - Seja
, então .
Agora,
, e
.
Mas
.
Como
, a afirmação é falsa.
Passo 3
(b) Se
é uma matriz quadrada de ordem 4 então
.
Aqui, precisamos lembrar que quando multiplicamos uma matriz por um escalar
, o determinante multiplica por
, onde
é a ordem da matriz.
Então, para uma matriz 4x4:
Comparando com a afirmação, que diz
, vemos que:
Portanto, a afirmação é falsa.
Passo 4
(c) Se
, para alguma matriz
inversível, então
.
Essa é uma propriedade importante dos determinantes. Quando duas matrizes são semelhantes, ou seja, uma é obtida pela relação
, elas têm o mesmo determinante. Isso porque:
Sabendo que
e
se cancela:
Portanto, a afirmação é verdadeira.
Passo 5
(d) Se
é uma matriz quadrada de ordem 4 então
.
Vamos lembrar que multiplicar uma matriz por
afeta o determinante de acordo com a ordem da matriz. A regra geral é:
Para uma matriz de ordem 4:
A afirmação diz que
, mas vimos que na verdade:
Portanto, a afirmação é falsa.
Resposta
- (a) Falsa
- (b) Falsa
- (c) Verdadeira
- (d) Falsa