Sejam
\vec{v} um vetor constante, \varphi(x, y, z) um campo escalar, e \vec{A}(x, y, z) e \vec{B}(x, y, z) campos vetoriais. Calcule e interprete fisicamente, quando aplicável:
O divergente do produto vetorial: \vec{\nabla} \cdot(\vec{A} \wedge \vec{B})

Passo 1

O enunciado pede para calcular e interpretar o divergente do produto vetorial \vec{\nabla}\cdot(\vec{A}\wedge\vec{B}). As informações dadas são:
  • \vec{A}(x,y,z) e \vec{B}(x,y,z) são campos vetoriais (funções dos três coordenadas);
  • pediu-se o cálculo do divergente do produto vetorial \vec{A}\wedge\vec{B} (ou seja, \nabla\cdot(\vec{A}\times\vec{B})) e interpretação física quando aplicável.

Passo 2

Vou lembrar as definições e notação que vou usar (explicando cada símbolo):
  • O divergente de um campo vetorial \vec{F} é a soma das derivadas parciais de suas componentes:
\nabla\cdot\vec{F}=\partial_i F_i,
onde \partial_i significa \dfrac{\partial}{\partial x_i} e usa-se a soma sobre índices repetidos (convenção de soma de Einstein).
  • O rotacional (curl) de \vec{A} tem componentes
(\nabla\times\vec{A})_i=\varepsilon_{i j k}\,\partial_j A_k,
onde \varepsilon_{ijk} é o símbolo de Levi-Civita (igual a +1 para permutações cíclicas de (1,2,3), -1 para permutações anti-cíclicas e 0 se dois índices se repetem).
  • O produto vetorial tem componentes
(\vec{A}\times\vec{B})_i=\varepsilon_{i j k}\,A_j B_k.
Estas fórmulas são só forma compacta para trabalhar componente a componente — é um jeito sistemático de provar identidades vetoriais.

Passo 3

Agora calculo diretamente o divergente de \vec{A}\times\vec{B} usando as definições acima e a regra do produto para derivadas:
\nabla\cdot(\vec{A}\times\vec{B}) =\partial_i\bigl((\vec{A}\times\vec{B})_i\bigr) =\partial_i\bigl(\varepsilon_{i j k}\,A_j B_k\bigr).
Aplicando a regra do produto (derivada de A_j B_k):
\partial_i\bigl(\varepsilon_{i j k}\,A_j B_k\bigr) =\varepsilon_{i j k}\,(\partial_i A_j)\,B_k \;+\; \varepsilon_{i j k}\,A_j\,(\partial_i B_k).
Agora reconheço cada termo em termos de rotacional (curl). Para o primeiro termo:
\varepsilon_{i j k}\,(\partial_i A_j)\,B_k = B_k\,\varepsilon_{k i j}\,\partial_i A_j = B_k\,(\nabla\times\vec{A})_k =\vec{B}\cdot(\nabla\times\vec{A}),
onde usei que uma permutação cíclica dos índices no \varepsilon não muda o sinal (portanto \varepsilon_{ijk}=\varepsilon_{k i j}) e depois identifiquei a componente do rotacional.
Para o segundo termo:
\varepsilon_{i j k}\,A_j\,(\partial_i B_k) = -A_j\,\varepsilon_{j i k}\,\partial_i B_k = -A_j\,(\nabla\times\vec{B})_j = -\vec{A}\cdot(\nabla\times\vec{B}),
porque trocar a ordem dos dois primeiros índices do \varepsilon muda o sinal ( \varepsilon_{ijk}=-\varepsilon_{jik}), e em seguida reconheço a definição do rotacional de \vec{B}.
Somando os dois termos obtenho a identidade final:
\nabla\cdot(\vec{A}\times\vec{B}) =\vec{B}\cdot(\nabla\times\vec{A})-\vec{A}\cdot(\nabla\times\vec{B}).

Passo 4

Interpretações e consequências úteis (explicadas de maneira concreta):
  • A expressão mostra que o divergente do produto vetorial \vec{A}\times\vec{B} é a diferença entre quanto o rotacional de \vec{A} tem componente na direção de \vec{B} e quanto o rotacional de \vec{B} tem componente na direção de \vec{A}.
  • Um caso importante: se \vec{A}=\nabla\varphi e \vec{B}=\nabla\psi (ambos são gradientes), então \nabla\times\vec{A}=\nabla\times\vec{B}=\vec{0}, logo
\nabla\cdot(\nabla\varphi\times\nabla\psi)=0.
Isto costuma aparecer em várias identidades de cálculo vetorial.
  • Outro caso: se \vec{B} é constante (vetor fixo \vec{v}), então \nabla\times\vec{B}=\vec{0} e
\nabla\cdot(\vec{A}\times\vec{v})=\vec{v}\cdot(\nabla\times\vec{A}).

Passo 5

Exemplo concreto e verificação direta (para fixar a ideia):
Escolho \vec{A}(x,y,z)=(-y,x,0) e \vec{B}=(0,0,1) constante. Primeiro calcule o rotacional de \vec{A}:
\nabla\times\vec{A}=(0,0,2).
Pela identidade,
\nabla\cdot(\vec{A}\times\vec{B})=\vec{B}\cdot(\nabla\times\vec{A})-\vec{A}\cdot(\nabla\times\vec{B}) =(0,0,1)\cdot(0,0,2)-\vec{A}\cdot\vec{0}=2.
Verificação direta: \vec{A}\times\vec{B}=(x,y,0), logo \nabla\cdot(\vec{A}\times\vec{B})=\partial_x x+\partial_y y=1+1=2. Confere — bom sinal.

Passo 6

Interpretação física (um exemplo clássico):
  • Na eletrodinâmica, o vetor de Poynting \vec{S}=\vec{E}\times\vec{H} representa fluxo de energia por unidade de área. A identidade dá
\nabla\cdot(\vec{E}\times\vec{H})=\vec{H}\cdot(\nabla\times\vec{E})-\vec{E}\cdot(\nabla\times\vec{H}).
Na equação de conservação de energia eletromagnética (teorema de Poynting) esse divergente aparece e se relaciona com taxa de variação da densidade de energia e trabalho sobre cargas. Assim, a identidade mostra como as rotações dos campos elétrico e magnético contribuem para o “fluxo líquido” de energia de um volume.

Passo 7

Dicas para prova (prático):
  • Se pedirem para simplificar \nabla\cdot(\vec{A}\times\vec{B}), memorize a forma
\nabla\cdot(\vec{A}\times\vec{B})=\vec{B}\cdot(\nabla\times\vec{A})-\vec{A}\cdot(\nabla\times\vec{B}).
  • Uma maneira rápida de raciocinar em questões: aplique definição componente a componente ou recorde a identidade acima; para casos com campos gradientes ou vetores constantes, as rotações são nulas e a expressão simplifica muito.

Resposta

\nabla\cdot(\vec{A}\times\vec{B})=\vec{B}\cdot(\nabla\times\vec{A})-\vec{A}\cdot(\nabla\times\vec{B})

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