Sejam
um vetor constante,
um campo escalar, e
e
campos vetoriais. Calcule e interprete fisicamente, quando aplicável:
O divergente do produto vetorial:
O divergente do produto vetorial:
Passo 1
O enunciado pede para calcular e interpretar o divergente do produto vetorial
. As informações dadas são:
-
e são campos vetoriais (funções dos três coordenadas); - pediu-se o cálculo do divergente do produto vetorial
(ou seja, ) e interpretação física quando aplicável.
Passo 2
Vou lembrar as definições e notação que vou usar (explicando cada símbolo):
- O divergente de um campo vetorial
é a soma das derivadas parciais de suas componentes:
onde
significa
e usa-se a soma sobre índices repetidos (convenção de soma de Einstein).
- O rotacional (curl) de
tem componentes
onde
é o símbolo de Levi-Civita (igual a
para permutações cíclicas de
,
para permutações anti-cíclicas e
se dois índices se repetem).
- O produto vetorial tem componentes
Estas fórmulas são só forma compacta para trabalhar componente a componente — é um jeito sistemático de provar identidades vetoriais.
Passo 3
Agora calculo diretamente o divergente de
usando as definições acima e a regra do produto para derivadas:
Aplicando a regra do produto (derivada de
):
Agora reconheço cada termo em termos de rotacional (curl). Para o primeiro termo:
onde usei que uma permutação cíclica dos índices no
não muda o sinal (portanto
) e depois identifiquei a componente do rotacional.
Para o segundo termo:
Para o segundo termo:
porque trocar a ordem dos dois primeiros índices do
muda o sinal (
), e em seguida reconheço a definição do rotacional de
.
Somando os dois termos obtenho a identidade final:
Passo 4
Interpretações e consequências úteis (explicadas de maneira concreta):
- A expressão mostra que o divergente do produto vetorial
é a diferença entre quanto o rotacional de tem componente na direção de e quanto o rotacional de tem componente na direção de . - Um caso importante: se
e (ambos são gradientes), então , logo
Isto costuma aparecer em várias identidades de cálculo vetorial.
- Outro caso: se
é constante (vetor fixo ), então e
Passo 5
Exemplo concreto e verificação direta (para fixar a ideia):
Escolho e
constante. Primeiro calcule o rotacional de
:
Escolho
Pela identidade,
Verificação direta:
, logo
. Confere — bom sinal.
Passo 6
Interpretação física (um exemplo clássico):
- Na eletrodinâmica, o vetor de Poynting
representa fluxo de energia por unidade de área. A identidade dá
Na equação de conservação de energia eletromagnética (teorema de Poynting) esse divergente aparece e se relaciona com taxa de variação da densidade de energia e trabalho sobre cargas. Assim, a identidade mostra como as rotações dos campos elétrico e magnético contribuem para o “fluxo líquido” de energia de um volume.
Passo 7
Dicas para prova (prático):
- Se pedirem para simplificar
, memorize a forma
- Uma maneira rápida de raciocinar em questões: aplique definição componente a componente ou recorde a identidade acima; para casos com campos gradientes ou vetores constantes, as rotações são nulas e a expressão simplifica muito.