(0.5 pt) Considere a matriz A=[rrrr1 & 2 & 3 & 1 -2 & 1 & 1 & 0 6 & -3 & -3 & 0 1 & 0 & -1 & 1]. Determine:
(a) a matriz escalonada reduzida linha equivalente a matria A.
(b) o posto e a nulidade da matriz A.
(c) o determinante da matriz A.

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = 1 & 2 & 3 & 1 -2 & 1 & 1 & 0 6 & -3 & -3 & 0 1 & 0 & -1 & 1
e pede:
(a) a forma escalonada reduzida por linhas (RREF) de A;
(b) o posto e a nulidade de A;
(c) o determinante de A.
Vamos aplicar eliminação de Gauss–Jordan para chegar ao RREF, de onde obtemos também o posto e a nulidade, e usar o fato de que se o posto é menor que 4 então det(A)=0.

Passo 2

Começamos eliminando abaixo do pivô a11=1. Usamos apenas operações do tipo “linha >=ts linha + c\cdot linha” (que não mudam o determinante):
R2 &>=ts R2 + 2R1colon&(-2)+2cdot1=0,;&1+2cdot2=5,;1+2cdot3=7,;0+2cdot1=2, R3 &>=ts R3 - 6R1colon&6-6cdot1=0,;-3-6cdot2=-15,;-3-6cdot3=-21,;0-6cdot1=-6, R4 &>=ts R4 - R1colon&1-1=0,;0-2=-2,;-1-3=-4,;1-1=0
Fica
1 & 2 & 3 & 1 0 & 5 & 7 & 2 0 & -15 & -21 & -6 0 & -2 & -4 & 0

Passo 3

Escolhendo pivô em a22=5, normalizamos a linha 2 e eliminamos acima e abaixo:
R2>=ts tfrac15R2 Rightarrow R2=(0,1,tfrac75,tfrac25),
R1&>=ts R1 -2R2;Rightarrow;(1,0,tfrac15,tfrac15), R3&>=ts R3 +15R2;Rightarrow;(0,0,0,0), R4&>=ts R4 +2R2;Rightarrow;(0,0,-tfrac65,tfrac45)
Agora temos
1 & 0 & tfrac15 & tfrac15 0 & 1 & tfrac75 & tfrac25 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & -tfrac65 & tfrac45

Passo 4

Trocamos as linhas 3 e 4 para subir o próximo pivô, e normalizamos em a33=-tfrac65:
R3rightarrow R4, R3>=ts -tfrac56 R3 ;Rightarrow; R3=(0,0,1,-tfrac23),
e então eliminamos nas colunas acima:
R1&>=ts R1 - tfrac15R3;Rightarrow;(1,0,0,tfrac13), R2&>=ts R2 - tfrac75R3;Rightarrow;(0,1,0,tfrac43)
Obtemos a forma escalonada reduzida
RREF(A) = 1 & 0 & 0 & tfrac13[6pt] 0 & 1 & 0 & tfrac43[6pt] 0 & 0 & 1 & -tfrac23[6pt] 0 & 0 & 0 & 0 ]

Passo 5

Na RREF temos três linhas não nulas, logo o posto de A é
posto(A)=3
Como o número de colunas é 4, a nulidade (dimensão do núcleo) é
nulidade(A)=4-3=1

Passo 6

Como o posto de A é menor que 4, concluímos imediatamente que
det(A)=0

Resposta

(a)
RREF(A) = 1 & 0 & 0 & tfrac13[6pt] 0 & 1 & 0 & tfrac43[6pt] 0 & 0 & 1 & -tfrac23[6pt] 0 & 0 & 0 & 0
(b) posto(A)=3, nulidade(A)=1.
(c) det(A)=0.]

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