(0.5 pt) Seja B=[rrrrr2 & 0 & 1 & 1 & 0 -1 & 0 & 2 & 1 & -2 3 & 1 & 0 & -2 & 2 1 & 0 & 0 & 3 & 1 0 & 0 & 0 & 2 & 0]. Encontre:
(a) o determinante da matriz B utilizando somente os cofatores;
(b) o determinante da matriz B utilizando apenas propriedades de determinante.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
B = 2 & 0 & 1 & 1 & 0 -1& 0 & 2 & 1 & -2 3 & 1 & 0 & -2& 2 1 & 0 & 0 & 3 & 1 0 & 0 & 0 & 2 & 0
e pede (a) o determinante de B usando só cofatores (Laplace) e (b) o determinante usando apenas propriedades de determinante (operações de linha/coluna e bloco triangular).

Passo 2

(a) Expandimos det(B) pela quinta linha (só b5,4=2neq0):
det(B) =sumj=1^5(-1)^5+jb5jdet(M5j) =(-1)^5+4,2;detl(M5,4r) =-2;detl(M5,4r),
onde M5,4 é a menor de ordem 4 obtida retirando linha 5 e coluna 4:
M5,4 = 2 & 0 & 1 & 0 -1& 0 & 2 & -2 3 & 1 & 0 & 2 1 & 0 & 0 & 1

Passo 3

Para det(M5,4), fazemos expansão pela segunda coluna (só m3,2=1neq0):
det(M5,4) =sumi=1^4(-1)^i+2mi2det(Ni2) =(-1)^3+2cdot1;det(N3,2) =-1cdotdet(N3,2),
onde N3,2 é a menor 3times3 eliminando linha 3 e coluna 2:
N3,2 = 2 & 1 & 0 -1& 2 & -2 1 & 0 & 1
Usando a regra de Sarrus ou cofatores em N3,2,
det(N3,2) =2,(2cdot1 -(-2)cdot0)-1l((-1)cdot1-(-2)cdot1r) =2cdot2 -l(-1+2r) =4-1=3
Logo det(M5,4)=-1cdot3=-3 e
det(B)=-2cdot(-3)=6

Passo 4

(b) Agora apenas com propriedades de determinante. Primeiro permutamos as colunas 4 e 5 de B. Chamemos de B1 a matriz obtida; uma única troca de colunas dá
det(B1)=-det(B)
Em B1, a quinta linha fica (0,0,0,0,2), de modo que
B1 = A1 & * 0 & 2 ,
bloco triangular em que A1 é a menor 4times4 nas primeiras quatro linhas e colunas de B1. Então
det(B1)=det(A1)cdot2
Mas A1 é exatamente a matriz M5,4 do item (a), cuja determinante achamos ser -3. Assim
det(B1)=(-3)cdot2=-6,
e portanto
det(B)=-det(B1)=-(-6)=6

Resposta

(a) det(B)=6
(b) det(B)=6

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