(0.5 pt) Mostre que:
Se det A=-8 e A^2+A-2 I=O, então det(A+I)=-1.

Passo 1

O enunciado diz que A é uma matriz quadrada de ordem 3 (pois mais adiante aparecerá 2^3) satisfazendo
A^2+A-2I=O
e que det A=-8.
O que precisamos usar: fatorar a equação matricial, a propriedade det(BC)=det Bdet C e o valor de det(cI)=c^n para n=3.

Passo 2

Reescrevendo a equação matricial, temos
A^2+A=2I Longrightarrow A,(A+I)=2I

Passo 3

Aplicando determinante em ambos os lados de A,(A+I)=2I, vem
detl(A,(A+I)r) =det A;det(A+I) =det(2I)
Como I é 3times3, sabemos det(2I)=2^3=8. Logo
det A;det(A+I)=8

Passo 4

Substituindo det A=-8 na igualdade anterior, obtém-se
(-8),det(A+I)=8 Longrightarrow det(A+I)=-1

Resposta

det(A+I)=-1.

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