(a) Mostre que det(A B)=det A cdot det B e det(A+B) neq det A+det B.
(b) Mostre que as matrizes A e B são equivalentes por linhas.
(c) Encontre duas matrizes elementares E1 e E2 tais que B=E2 E1 A (exiba as contas).
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão que temos envolve matrizes e determinantes. No item (a), precisamos mostrar duas coisas sobre os determinantes das matrizes A e B : que o determinante do produto AB é igual ao produto dos determinantes de A e B , ou seja, det(AB) = det(A) cdot det(B) , e que o determinante da soma A + B não é igual à soma dos determinantes, det(A+B) neq det(A) + det(B) . Para resolver isso, vamos usar algumas propriedades básicas de determinantes de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a propriedade que diz que o determinante do produto de duas matrizes é igual ao produto dos determinantes dessas matrizes. Ou seja, det(AB) = det(A) cdot det(B) . Essa é uma regra fundamental em álgebra linear e facilita muito nossos cálculos.
Passo 3
Agora, vamos calcular det(A) e det(B) separadamente para confirmar essa propriedade. Vamos usar a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores para matrizes 3x3.