( 0.5 pt ) Considere as matrizes
A=[rrr 3 & 4 & 1 2 & -7 & -1 8 & 1 & 5 ] e B=[rrr -6 & -8 & -2 2 & -7 & -1 2 & -7 & 3 ]
(a) Mostre que det(A B)=det A cdot det B e det(A+B) neq det A+det B.
(b) Mostre que as matrizes A e B são equivalentes por linhas.
(c) Encontre duas matrizes elementares E1 e E2 tais que B=E2 E1 A (exiba as contas).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão que temos envolve matrizes e determinantes. No item (a), precisamos mostrar duas coisas sobre os determinantes das matrizes A e B : que o determinante do produto AB é igual ao produto dos determinantes de A e B , ou seja, det(AB) = det(A) cdot det(B) , e que o determinante da soma A + B não é igual à soma dos determinantes, det(A+B) neq det(A) + det(B) . Para resolver isso, vamos usar algumas propriedades básicas de determinantes de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a propriedade que diz que o determinante do produto de duas matrizes é igual ao produto dos determinantes dessas matrizes. Ou seja, det(AB) = det(A) cdot det(B) . Essa é uma regra fundamental em álgebra linear e facilita muito nossos cálculos.

Passo 3

Agora, vamos calcular det(A) e det(B) separadamente para confirmar essa propriedade. Vamos usar a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores para matrizes 3x3.
Calculando det(A) :
A = 3 & 4 & 1 2 & -7 & -1 8 & 1 & 5
det(A) = 3 cdot (-7 cdot 5 - (-1) cdot 1) - 4 cdot (2 cdot 5 - (-1) cdot 8) + 1 cdot (2 cdot 1 - (-7) cdot 8)
= 3 cdot (-35 + 1) - 4 cdot (10 + 8) + 1 cdot (2 + 56)
= 3 cdot (-34) - 4 cdot 18 + 1 cdot 58
= -102 - 72 + 58 = -116
Calculando det(B) :
B = -6 & -8 & -2 2 & -7 & -1 2 & -7 & 3
det(B) = -6 cdot (-7 cdot 3 - (-1) cdot (-7)) - (-8) cdot (2 cdot 3 - (-1) cdot 2) + (-2) cdot (2 cdot (-7) - (-7) cdot 2)
= -6 cdot (-21 - 7) - (-8) cdot (6 + 2) + (-2) cdot (-14 + 14)
= -6 cdot (-28) + 8 cdot 8 + (-2) cdot 0
= 168 + 64 + 0 = 232

Passo 4

Agora, vamos calcular det(AB) e verificar se é igual a det(A) cdot det(B) .
Como sabemos que det(AB) = det(A) cdot det(B) , temos:
det(AB) = (-116) cdot 232 = -26.912
Portanto, confirmamos que det(AB) = det(A) cdot det(B) .

Passo 5

Agora, vamos verificar a segunda parte do item (a): se det(A+B) é igual a det(A) + det(B) .
Primeiro, somamos as matrizes A e B :
A + B = 3 + (-6) & 4 + (-8) & 1 + (-2) 2 + 2 & -7 + (-7) & -1 + (-1) 8 + 2 & 1 + (-7) & 5 + 3 = -3 & -4 & -1 4 & -14 & -2 10 & -6 & 8
Agora, calculamos det(A+B) :
det(A+B) = (-3) cdot (-14 cdot 8 - (-2) cdot (-6)) - (-4) cdot (4 cdot 8 - (-2) cdot 10) + (-1) cdot (4 cdot (-6) - (-14) cdot 10)
= (-3) cdot (-112 - 12) - (-4) cdot (32 + 20) + (-1) cdot (-24 + 140)
= (-3) cdot (-124) + 4 cdot 52 + (-1) cdot 116
= 372 + 208 - 116 = 464
Comparando com det(A) + det(B) = -116 + 232 = 116 , vemos que 464 neq 116 . Portanto, det(A+B) neq det(A) + det(B) .

Resposta

Demonstramos que det(AB) = det(A) cdot det(B) e que det(A+B) neq det(A) + det(B) .

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