(0.5 pt) Considere A=[ai j] a matriz simétrica de ordem 3, definida por
ai j=cc i^2-4 j & se i>j -5 & se i=j
(a) Obtenha a matriz A.
(b) Determine o posto e a nulidade de A.
(c) Mostre, através de operações elementares sobre linhas (exiba todas as operações elementares realizadas), que a matriz A é inversível e encontre sua inversa A^-1.
(d) Utilize as operações elementares encontradas no item (c) e as propriedades de determinante para encontrar o determinante da matriz A (sem utilizar a Regra de Sarrus e nem cofatores).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma matriz simétrica de ordem 3, ou seja, uma matriz 3x3 onde os elementos são refletidos em relação à diagonal principal. Precisamos seguir as instruções para encontrar a matriz A , determinar seu posto e nulidade, verificar se ela é inversível e, por fim, calcular seu determinante. Para isso, vamos utilizar conceitos de álgebra linear como matrizes, operações elementares, posto, nulidade, inversibilidade e determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como construir a matriz [A). A matriz é simétrica, então . A definição dos elementos da matriz é dada por:
Isso significa que para cada posição da matriz, se a linha , aplicamos a fórmula . Se estiver na diagonal principal ( ), o valor é . E como a matriz é simétrica, os elementos acima da diagonal são iguais aos abaixo.

Passo 3

Vamos construir a matriz A passo a passo. Como é uma matriz 3x3, vamos preencher cada posição:
  • Para i = 1 :
    • j = 1 : i = j , então a11 = -5 .
    • j = 2 : i < j , então a12 = a21 .
    • j = 3 : i < j , então a13 = a31 .
  • Para i = 2 :
    • j = 1 : i > j , então a21 = 2^2 - 4(1) = 4 - 4 = 0 .
    • j = 2 : i = j , então a22 = -5 .
    • j = 3 : i < j , então a23 = a32 .
  • Para i = 3 :
    • j = 1 : i > j , então a31 = 3^2 - 4(1) = 9 - 4 = 5 .
    • j = 2 : i > j , então a32 = 3^2 - 4(2) = 9 - 8 = 1 .
    • j = 3 : i = j , então a33 = -5 .
Agora, preenchendo os valores simétricos:
A = -5 & 0 & 5 0 & -5 & 1 5 & 1 & -5

Passo 4

Pronto! Agora temos a matriz A definida conforme o enunciado.

Resposta

A matriz A é:
A = -5 & 0 & 5 0 & -5 & 1 5 & 1 & -5

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