(0.5 pt) Considere a matriz simétrica de ordem 3, definida por
(a) Obtenha a matriz A.
(b) Determine o posto e a nulidade de A.
(c) Mostre, através de operações elementares sobre linhas (exiba todas as operações elementares realizadas), que a matriz A é inversível e encontre sua inversa A^-1.
(d) Utilize as operações elementares encontradas no item (c) e as propriedades de determinante para encontrar o determinante da matriz A (sem utilizar a Regra de Sarrus e nem cofatores).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma matriz simétrica de ordem 3, ou seja, uma matriz 3x3 onde os elementos são refletidos em relação à diagonal principal. Precisamos seguir as instruções para encontrar a matriz A , determinar seu posto e nulidade, verificar se ela é inversível e, por fim, calcular seu determinante. Para isso, vamos utilizar conceitos de álgebra linear como matrizes, operações elementares, posto, nulidade, inversibilidade e determinantes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como construir a matriz [A). A matriz é simétrica, então . A definição dos elementos da matriz é dada por:
Isso significa que para cada posição da matriz, se a linha , aplicamos a fórmula . Se estiver na diagonal principal (), o valor é . E como a matriz é simétrica, os elementos acima da diagonal são iguais aos abaixo.
Passo 3
Vamos construir a matriz A passo a passo. Como é uma matriz 3x3, vamos preencher cada posição: