(1,5 pt) Use a regra da cadeia para se determinar d/z dt, onde z(x, y) = x * sen(y), x(t) = t^3 e y(t) = t^2.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que está sendo perguntado. Queremos encontrar a derivada de em relação a , ou seja, . Sabemos que é uma função de e , onde . Além disso, e são funções de , dado por e . Para resolver isso, vamos usar a Regra da Cadeia, que nos ajuda a encontrar derivadas de funções compostas.

Passo 2

A Regra da Cadeia para funções de várias variáveis nos diz que:
Aqui, e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais. Primeiro, com relação a :
Pois , derivando em relação a , tratamos como constante.

Passo 4

Agora, a derivada parcial de em relação a :
Aqui, usamos a derivada da função seno, que é cosseno, e multiplicamos por .

Passo 5

Em seguida, derivamos e em relação a :
Estas são derivadas simples de potências de .

Passo 6

Agora, substituímos todas essas derivadas na fórmula da Regra da Cadeia:
Lembre-se que e .

Passo 7

Finalmente, substituímos e por suas expressões em termos de :
Simplificando:

Resposta

A derivada de em relação a é:

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