(1,5 pt) Use a regra da cadeia para se determinar
, onde
e
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que está sendo perguntado. Queremos encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
. Sabemos que
é uma função de
e
, onde . Além disso,
e
são funções de
, dado por
e
. Para resolver isso, vamos usar a Regra da Cadeia, que nos ajuda a encontrar derivadas de funções compostas.
Passo 2
A Regra da Cadeia para funções de várias variáveis nos diz que:
Aqui,
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
, respectivamente.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais. Primeiro, com relação a
:
Pois , derivando em relação a
, tratamos
como constante.
Passo 4
Agora, a derivada parcial de
em relação a
:
Aqui, usamos a derivada da função seno, que é cosseno, e multiplicamos por
.
Passo 5
Em seguida, derivamos
e
em relação a
:
Estas são derivadas simples de potências de
.
Passo 6
Agora, substituímos todas essas derivadas na fórmula da Regra da Cadeia:
Lembre-se que
e
.
Passo 7
Finalmente, substituímos
e
por suas expressões em termos de
:
Simplificando:
Resposta
A derivada de
em relação a
é: