(2.5 pt) Encontre o valor do parámetro
para que a EDO abaixo seja exata.
Encontre a sua solução geral.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede (a) o valor de
para que seja exata e (b) a solução geral. Vamos tratar como uma forma diferencial
com
Para ser exata, precisamos de
Passo 2
Calculamos primeiro
e depois
Passo 3
Igualando as derivadas para exatidão:
os termos em
cancelam, sobrando
Passo 4
Com
, a equação é exata. Então existe uma função potencial
tal que
Integramos em relação a
:
Passo 5
Agora exigimos
, ou seja
deve ser igual a
Isso força
, logo
constante.
Passo 6
A solução geral implícita é
onde
é constante arbitrária.
Resposta
Solução geral: