(2.5 pt) Encontre o valor do parámetro k para que a EDO abaixo seja exata.
\left(\frac{8 x}{y}+\cos y\right) d x-\left(\frac{k x^{2}}{y^{2}}+x \sin y\right) d y=0 .
Encontre a sua solução geral.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\Bigl(\frac{8x}{y}+\cos y\Bigr)\,dx \;-\;\Bigl(\frac{kx^2}{y^2}+x\sin y\Bigr)\,dy=0
e pede (a) o valor de k para que seja exata e (b) a solução geral. Vamos tratar como uma forma diferencial
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy=0
com
M(x,y)=\frac{8x}{y}+\cos y, \quad N(x,y)=-\Bigl(\frac{kx^2}{y^2}+x\sin y\Bigr).
Para ser exata, precisamos de
\frac{\partial M}{\partial y} \;=\;\frac{\partial N}{\partial x}.

Passo 2

Calculamos primeiro
\frac{\partial M}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac{8x}{y}+\cos y\Bigr) =-\frac{8x}{y^2}-\sin y,
e depois
\frac{\partial N}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\Bigl[-\Bigl(\frac{kx^2}{y^2}+x\sin y\Bigr)\Bigr] =-\Bigl(\frac{2k\,x}{y^2}+\sin y\Bigr) =-\frac{2k\,x}{y^2}-\sin y.

Passo 3

Igualando as derivadas para exatidão:
-\frac{8x}{y^2}-\sin y \;=\; -\frac{2k\,x}{y^2}-\sin y
os termos em -\sin y cancelam, sobrando
-\frac{8x}{y^2}=-\frac{2k\,x}{y^2} \quad\Longrightarrow\quad 8=2k \quad\Longrightarrow\quad k=4.

Passo 4

Com k=4, a equação é exata. Então existe uma função potencial \psi(x,y) tal que
\psi_x = M = \frac{8x}{y}+\cos y.
Integramos em relação a x:
\psi(x,y) =\int\Bigl(\frac{8x}{y}+\cos y\Bigr)\,dx =\frac{8}{y}\,\frac{x^2}{2}+x\cos y + h(y) =\frac{4x^2}{y}+x\cos y + h(y).

Passo 5

Agora exigimos \psi_y=N, ou seja
\psi_y =\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac{4x^2}{y}+x\cos y + h(y)\Bigr) =-\frac{4x^2}{y^2}-x\sin y + h'(y)
deve ser igual a
N=-\Bigl(\frac{4x^2}{y^2}+x\sin y\Bigr) =-\frac{4x^2}{y^2}-x\sin y.
Isso força h'(y)=0, logo h(y)= constante.

Passo 6

A solução geral implícita é
\psi(x,y)=\frac{4x^2}{y}+x\cos y=C,
onde C é constante arbitrária.

Resposta

k=4
Solução geral:
\frac{4x^2}{y}+x\cos y=C.

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