a) ( 0.5 pt ) Esboce a região plana D=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: 0 \leq x \leq 1, e^{x} \leq y \leq e\right\}
b) (2.0 \mathrm{pt}) Calcule a integral dupla
I=\iint_{D} \frac{x e^{y}}{(\ln y)^{2}} d A
Sugestão: Para calcular I escrever D como uma região do tipo 2 .

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Esboçar a região D = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : 0 \le x \le 1,\\ e^x \le y \le e\}
  2. Calcular a integral dupla I = \iint_{D} \frac{x\,e^{y}}{(\ln y)^{2}}\,dA.
O conteúdo principal envolve mudança de ordem de integração para regiões do tipo II (tipo 2) e o cálculo de integrais iteradas.

Passo 2

Para esboçar D, note que temos as curvas
y = e^x,\quad y = e,
e as retas verticais x=0 e x=1. No plano xy, a curva y=e^x vai de (0,1) a (1,e), e o segmento horizontal y=e vai de (0,e) a (1,e). A região é o “facheado” entre essas curvas, limitada à direita por x=1 e à esquerda por x=0.

Passo 3

Para usar o tipo II, expressamos D trocando a ordem:
  • y varia do mínimo y=e^0=1 até o máximo y=e.
  • Para cada y fixo em [1,e], a condição e^x\le y equivale a x\le \ln y, e sabemos ainda que x\ge0.
    Logo
D = \bigl\{(x,y): 1 \le y \le e,\;0 \le x \le \ln y\bigr\}.

Passo 4

Reescrevendo a integral em ordem (y,x):
I = \int_{y=1}^{e} \int_{x=0}^{\ln y} \frac{x\,e^{y}}{(\ln y)^{2}} \,dx\,dy.

Passo 5

Calculemos primeiro a integral interna em x, tratando y como constante:
\int_{0}^{\ln y} x \,dx = \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^{\ln y} = \frac{(\ln y)^2}{2}.
Portanto
\int_{x=0}^{\ln y} \frac{x\,e^y}{(\ln y)^2}\,dx = \frac{e^y}{(\ln y)^2}\,\cdot \frac{(\ln y)^2}{2} = \frac{e^y}{2}.

Passo 6

Agora a integral externa em y:
I = \int_{1}^{e} \frac{e^y}{2} \,dy = \frac{1}{2}\int_{1}^{e} e^y\,dy = \frac{1}{2}\Bigl[e^y\Bigr]_{y=1}^{y=e} = \frac{1}{2}\bigl(e^e - e^1\bigr).

Passo 7

Portanto, o valor final da integral é
I = \frac{e^e - e}{2}.

Resposta

I = \frac{e^e - e}{2}.

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