a) ( 0.5 pt ) Esboce a região plana
b)
Calcule a integral dupla
Sugestão: Para calcular
escrever
como uma região do tipo 2 .
b)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Esboçar a região
- Calcular a integral dupla
O conteúdo principal envolve mudança de ordem de integração para regiões do tipo II (tipo 2) e o cálculo de integrais iteradas.
Passo 2
Para esboçar
, note que temos as curvas
e as retas verticais
e
. No plano
, a curva
vai de
a
, e o segmento horizontal
vai de
a
. A região é o “facheado” entre essas curvas, limitada à direita por
e à esquerda por
.
Passo 3
Para usar o tipo II, expressamos
trocando a ordem:
-
varia do mínimo até o máximo . - Para cada
fixo em , a condição equivale a , e sabemos ainda que .
Logo
Passo 4
Reescrevendo a integral em ordem
:
Passo 5
Calculemos primeiro a integral interna em
, tratando
como constante:
Portanto
Passo 6
Agora a integral externa em
:
Passo 7
Portanto, o valor final da integral é