Seja f\) a função determinada pela seguinte formula: \[f(x)= \begin{cases}x^{2} e^{x} & \text { se } x \leq 1 \\\ \frac{\ln (x-1)}{(x-1)} & \text { se } x>1\end{cases}
Calcule quantas soluções tem a equação (f(x)=1 / 2].

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)= \begin{cases} x^{2}e^{x},&x\le1,\\[6pt] \dfrac{\ln(x-1)}{\,x-1\,},&x>1, \end{cases}
e pede o número de soluções da equação
f(x)=\tfrac12.
Vamos analisar separadamente cada ramo da função.]

Passo 2

Para x\le1, definimos
g(x)=x^{2}e^{x}
e estudamos a equação
g(x)=\tfrac12.
Calculamos a derivada
g'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}e^{x}\bigr) =e^{x}(x^{2}+2x)=e^{x}\,x(x+2).
Os pontos críticos são x=0 e x=-2. Observamos o comportamento de g:
  1. Para x\to-\infty, tem-se g(x)\to0^{+}.
  2. Cresce até o máximo em x=-2, onde
g(-2)=4e^{-2}\approx0{,}5413>0{,}5.
  1. Decrece de x=-2 a x=0, chegando a g(0)=0.
  2. Em seguida cresce de 0 até 1, onde
g(1)=1\cdot e^{1}=e\approx2{,}718>0{,}5.
Como g sobe de 0 a 0{,}5413, desce a 0 e depois sobe a e, o gráfico de g(x) cruza y=\tfrac12 três vezes em (-\infty,1]. Assim, existem três soluções de x^{2}e^{x}=\tfrac12 com x\le1.

Passo 3

Para x>1, façamos a mudança t=x-1>0 e considere
\varphi(t)=\frac{\ln t}{t}.
Queremos \varphi(t)=\tfrac12. Calculamos
\varphi'(t)=\frac{1-\ln t}{t^{2}},
que se anula apenas em t=e. Em t=e
\varphi(e)=\frac{1}{e}\approx0{,}3679<0{,}5,
e \varphi(t)\to-\infty quando t\to0^{+}, \varphi(t)\to0^{+} quando t\to+\infty. Logo, o valor máximo de \varphi é 1/e<1/2, de modo que não há solução de \ln(x-1)/(x-1)=\tfrac12 para x>1.

Resposta

A equação f(x)=\tfrac12 possui exatamente 3 soluções.

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