Seja f\) a função determinada pela seguinte formula:
\[f(x)= \begin{cases}x^{2} e^{x} & \text { se } x \leq 1 \\\ \frac{\ln (x-1)}{(x-1)} & \text { se } x>1\end{cases}
Calcule quantas soluções tem a equação (f(x)=1 / 2].
Os pontos críticos são x=0 e x=-2. Observamos o comportamento de g:
Para x\to-\infty, tem-se g(x)\to0^{+}.
Cresce até o máximo em x=-2, onde
g(-2)=4e^{-2}\approx0{,}5413>0{,}5.
Decrece de x=-2 a x=0, chegando a g(0)=0.
Em seguida cresce de 0 até 1, onde
g(1)=1\cdot e^{1}=e\approx2{,}718>0{,}5.
Como g sobe de 0 a 0{,}5413, desce a 0 e depois sobe a e, o gráfico de g(x) cruza y=\tfrac12 três vezes em (-\infty,1]. Assim, existem três soluções de x^{2}e^{x}=\tfrac12 com x\le1.
Passo 3
Para x>1, façamos a mudança t=x-1>0 e considere
\varphi(t)=\frac{\ln t}{t}.
Queremos \varphi(t)=\tfrac12. Calculamos
\varphi'(t)=\frac{1-\ln t}{t^{2}},
que se anula apenas em t=e. Em t=e
\varphi(e)=\frac{1}{e}\approx0{,}3679<0{,}5,
e \varphi(t)\to-\infty quando t\to0^{+}, \varphi(t)\to0^{+} quando t\to+\infty. Logo, o valor máximo de \varphi é 1/e<1/2, de modo que não há solução de \ln(x-1)/(x-1)=\tfrac12 para x>1.
Resposta
A equação f(x)=\tfrac12 possui exatamente 3 soluções.