(0.5 pt) Mostre que:
Se P e Q são matrizes inversíveis de mesma ordem e P Q X^t P^-1 Q^-1=I+P, então X=I+P^t.

Passo 1

O enunciado diz que P e Q são matrizes inversíveis de mesma ordem e que vale a igualdade
P,Q,X^t,P^-1,Q^-1=I+P
O objetivo é encontrar X. Para isso vamos usar operações de multiplicação por matrizes inversas e as propriedades da transposição, em particular
(AB)^t=B^tA^t, (A^-1)^t=(A^t)^-1, (I+P)^t=I+P^t

Passo 2

Isolamos multiplicando à esquerda por Q,P). Assim,
Como e , o lado esquerdo fica simplesmente . Logo

Passo 3

Transpondo ambos os lados da expressão acima e aplicando as propriedades de transposição e inversa, obtemos
X =l(Q^-1P^-1(I+P),Q,Pr)^t =(P,Q)^t(I+P)^t(Q^-1P^-1)^t =P^tQ^t(I+P)^t(P^t)^-1(Q^t)^-1
Como (I+P)^t=I+P^t, segue
X =P^tQ^t(I+P^t)(P^t)^-1(Q^t)^-1

Passo 4

Expandimos o produto
X =P^tQ^t(I+P^t)(P^t)^-1(Q^t)^-1 =P^tQ^t(P^t)^-1(Q^t)^-1 ;+;P^tQ^tP^t(P^t)^-1(Q^t)^-1
Em cada termo as inversas cancelam-se em cadeia:
  • No primeiro: P^tQ^t(P^t)^-1(Q^t)^-1=I.
  • No segundo: P^tl[Q^tP^t(P^t)^-1(Q^t)^-1r]=P^tcdot I=P^t
Assim concluímos
X=I+P^t

Resposta

X=I+P^t

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