(
) Mostre que uma transformação linear
'́ injetiva se, e somente se,
.
Passo 1
O enunciado pede pra mostrar que uma transformação linear A: E → F é injetiva exatamente quando seu núcleo N(A) é só o vetor 0. Vamos trabalhar com o conceito de injetividade e o conceito de núcleo (kernel) de uma aplicação linear.
Passo 2
Suponha que A seja injetiva. Se x pertence a N(A), então A(x)=0. Mas como A é linear, A(0)=0 também. Pela injetividade, A(x)=A(0) implica x=0. Logo todo vetor em N(A) é zero, ou seja N(A)={0}.
Passo 3
Agora suponha que N(A)={0}. Para provar que A é injetiva, tomamos x,y em E tais que A(x)=A(y). Pela linearidade, A(x)−A(y)=A(x−y)=0. Isso mostra que x−y pertence a N(A), mas N(A) só tem o 0, então x−y=0 e portanto x=y. Isso é exatamente a definição de injetividade.
Resposta
Mostramos as duas implicações e concluímos que A é injetiva se, e somente se, N(A)={0}.