Seja S uma base de V=M(2,2) (espaço vetorial das matrizes 2 times 2 ) dada pelos vetores: v1=(cc-1 & 1 0 & 0), v2=(cc1 & 1 0 & 0) e v3=(ll0 & 0 1 & 0), v4=(cc0 & 0 0 & 1) esse Calcule o vetor coordenada de v=(cc2 & 0 -1 & 3)

Passo 1

O enunciado nos dá o espaço vetorial V=M(2,2) com a base
S=,vec v1,vec v2,vec v3,vec v4,
onde
vec v1=-1 & 10 & 0, vec v2=1 & 10 & 0, vec v3=0 & 01 & 0, vec v4=0 & 00 & 1,
e pede as coordenadas de
vec v=2 & 0-1 & 3
nessa base.

Passo 2

Escrevemos uma combinação linear genérica dos vetores da base igual a vec v, isto é, procuramos escalares a,b,c,d tais que
a,vec v1 + b,vec v2 + c,vec v3 + d,vec v4 =2 & 0-1 & 3

Passo 3

Calculemos o lado esquerdo componente a componente. Na linha de cima temos
a,(-1,1) + b,(1,1) = (-a+b,;a+b),
e na linha de baixo
c,(1,0) + d,(0,1) = (c,;d)
Comparando com vec v obtemos o sistema
-a + b = 2, a + b = 0, c = -1, d = 3

Passo 4

Das duas últimas equações já temos
c=-1, d=3
Para a e b somamos as duas primeiras equações:
(-a+b)+(a+b)=2+0implies 2b=2implies b=1,
e então
a+b=0implies a+1=0implies a=-1

Resposta

As coordenadas de vec v na base S são
l[a,b,c,dr]=l[-1,,1,, -1,,3r]

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