Seja S uma base de V=M(2,2) (espaço vetorial das matrizes 2 times 2 ) dada pelos vetores:
v1=(ll1 & 0 0 & 0), v2=(ll0 & 1 1 & 0) e v3=(ll0 & 2 0 & 1), v4=(ll0 & 0 1 & 1)
Calcule o vetor coordenada de v=(ll1 & 1 1 & 1)

Passo 1

O enunciado nos dá o espaço vetorial V=M(2,2) e uma base
S=vec v1,vec v2,vec v3,vec v4
com
vec v1=1&00&0, vec v2=0&11&0, vec v3=0&20&1, vec v4=0&01&1
Queremos encontrar o vetor coordenada de
vec v=1&11&1
na base S. Para isso, vamos escrever vec v como combinação linear dos vec vi e resolver o sistema resultante.

Passo 2

Suponha
Então
Esse resultado deve ser igual a

Passo 3

Igualando entrada a entrada, obtemos o sistema
c1=1, c2+2c3=1, c2+c4=1, c3+c4=1

Passo 4

Da primeira equação vem c1=1.
Da terceira, c4=1 - c2.
Substituindo na quarta,
c3+(1-c2)=1 ;Longrightarrow; c3=c2
E na segunda,
c2+2c3=1 ;Longrightarrow; c2+2c2=3c2=1 ;Longrightarrow; c2=tfrac13
Logo c3=tfrac13 e c4=1-tfrac13=tfrac23.

Resposta

O vetor coordenada de v na base S é
1 tfrac13 tfrac13 tfrac23 .

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