(1,0 pt.) Para o seguinte funcional determinar as lagrangianas satisfazendo as respectivas condições de fronteira:
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a função extrema
que faz estacionar o funcional
sujeita às condições de contorno
e
. Vamos usar o Equação de Euler–Lagrange para
.
Passo 2
Escrevemos a condição de Euler–Lagrange:
Aqui
e
. Portanto
Passo 3
Calculamos a derivada:
Logo a equação de Euler–Lagrange fica
Passo 4
Defina
. A equação vira
Como
, segue
Separando variáveis:
Passo 5
Voltando à variável
,
Passo 6
Aplicamos as condições de contorno:
em ,
dá
;
;
em ,
dá
em
em
Passo 7
Substituindo
obtemos
Resposta
A função que torna o funcional estacionário é