(1,0 pt.) Para o seguinte funcional determinar as lagrangianas satisfazendo as respectivas condições de fronteira:
V[y(x)]=\int_{0}^{1} y\left(y^{\prime}\right)^{2} d x ;
y(0)=1, y(1)=\sqrt[3]{4}.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a função extrema y(x) que faz estacionar o funcional
V[y]=\int_{0}^{1}y\bigl(y'\bigr)^{2}\,dx
sujeita às condições de contorno y(0)=1 e y(1)=\sqrt[3]{4}. Vamos usar o Equação de Euler–Lagrange para F(x,y,y')=y(y')^{2}.

Passo 2

Escrevemos a condição de Euler–Lagrange:
\frac{d}{dx}\Bigl(\frac{\partial F}{\partial y'}\Bigr)-\frac{\partial F}{\partial y}=0.
Aqui \frac{\partial F}{\partial y}= (y')^{2} e \frac{\partial F}{\partial y'}=2y\,y'. Portanto
\frac{d}{dx}\bigl(2y\,y'\bigr)- (y')^{2}=0.

Passo 3

Calculamos a derivada:
\frac{d}{dx}(2y\,y')=2y'\,y'+2y\,y''=2(y')^{2}+2y\,y''.
Logo a equação de Euler–Lagrange fica
2(y')^{2}+2y\,y''-(y')^{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad (y')^{2}+2y\,y''=0.

Passo 4

Defina p=y'. A equação vira
p^{2}+2y\,\frac{dp}{dx}=0.
Como \frac{dp}{dx}=\frac{dp}{dy}\,\frac{dy}{dx}=p\,\frac{dp}{dy}, segue
p^{2}+2y\,p\,\frac{dp}{dy}=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dp}{dy}+\frac{p}{2y}=0.
Separando variáveis:
\frac{dp}{p}=-\frac{dy}{2y} \quad\Longrightarrow\quad \ln p=-\tfrac12\ln y + C_{1} \quad\Longrightarrow\quad p=C_{1}\,y^{-\tfrac12}.

Passo 5

Voltando à variável y,
y'=\frac{dy}{dx}=C_{1}\,y^{-\tfrac12} \quad\Longrightarrow\quad y^{\tfrac12}\,dy=C_{1}\,dx \quad\Longrightarrow\quad \int y^{\tfrac12}dy=\int C_{1}dx
\tfrac23\,y^{\tfrac32}=C_{1}\,x+C_{2} \quad\Longrightarrow\quad y^{\tfrac32}=\frac{3}{2}(C_{1}\,x+C_{2}) \quad\Longrightarrow\quad y=\Bigl(\tfrac{3}{2}(C_{1}\,x+C_{2})\Bigr)^{\tfrac{2}{3}}.

Passo 6

Aplicamos as condições de contorno:
em x=0, y(0)=1 \bigl(\tfrac{3}{2}C_{2}\bigr)^{2/3}=1; \Rightarrow; C_{2}=\tfrac{2}{3}.
em x=1, y(1)=\sqrt[3]{4}
\Bigl(\tfrac{3}{2}(C_{1}+C_{2})\Bigr)^{\tfrac{2}{3}}=\sqrt[3]{4} \quad\Longrightarrow\quad \tfrac{3}{2}(C_{1}+\tfrac{2}{3})=2 \quad\Longrightarrow\quad C_{1}=\tfrac{2}{3}.

Passo 7

Substituindo C_{1}=C_{2}=\tfrac{2}{3} obtemos
y(x)=\Bigl(\tfrac{3}{2}\times\tfrac{2}{3}(x+1)\Bigr)^{\tfrac{2}{3}} =(x+1)^{\tfrac{2}{3}}.

Resposta

A função que torna o funcional estacionário é
y(x)=(1+x)^{\tfrac{2}{3}}.

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