(1,0 pt.) Para o seguinte funcional determinar a lagrangiana satisfazendo as respectivas condições de fronteira:
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a curva
que torna extremo o funcional
sujeita às condições de contorno
.
Estamos em Cálculo Variacional e vamos usar a equação de Euler–Lagrange e, como o integrando não depende explicitamente de , apropriado usar a primeira integral de Beltrami.
Estamos em Cálculo Variacional e vamos usar a equação de Euler–Lagrange e, como o integrando não depende explicitamente de
Passo 2
Identificamos a “Lagrangiana”
Como
não depende de
explicitamente, vale a primeira integral de Beltrami:
Calculamos
logo
Dessa forma
Passo 3
Da separação de variáveis,
Integrando,
onde
e
são constantes a determinar via contorno.
Passo 4
Aplicamos
e
:
Subtraindo as duas equações obtém-se
. Substituindo em qualquer delas dá
Resolvendo em
surge
Passo 5
Escolhemos a raiz que mantém
e produz o extremo de mínimo (a derivação mostra que a maior raiz é a adequada), ou seja
Logo a extremal é