(1,0 pt.) Para o seguinte funcional determinar a lagrangiana satisfazendo as respectivas condições de fronteira:
V[y(x)]=\int_{0}^{1} \sqrt{y\left(1+\left(y^{\prime}\right)^{2}\right)} d x ;
y(0)=y(1)=\frac{1}{\sqrt{2}}.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a curva y(x) que torna extremo o funcional
V[y]=\int_{0}^{1}\sqrt{\,y\bigl(1+(y')^{2}\bigr)\,}\,dx
sujeita às condições de contorno \,y(0)=y(1)=\tfrac{1}{\sqrt{2}}.
Estamos em Cálculo Variacional e vamos usar a equação de Euler–Lagrange e, como o integrando não depende explicitamente de x, apropriado usar a primeira integral de Beltrami.

Passo 2

Identificamos a “Lagrangiana”
L\bigl(y,y'\bigr)=\sqrt{y\,\bigl(1+(y')^{2}\bigr)}.
Como L não depende de x explicitamente, vale a primeira integral de Beltrami:
L - y'\,\frac{\partial L}{\partial y'}=C\quad(\text{constante}).
Calculamos
\frac{\partial L}{\partial y'} =\frac{\sqrt{y}\,y'}{\sqrt{1+(y')^{2}}},
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\sqrt{y}\,\sqrt{1+(y')^{2}} - y'\,\frac{\sqrt{y}\,y'}{\sqrt{1+(y')^{2}}} =\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{1+(y')^{2}}} =C.
Dessa forma
\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{1+(y')^{2}}}=C \quad\Longrightarrow\quad 1+(y')^{2}=\frac{y}{C^{2}} \quad\Longrightarrow\quad (y')^{2}=\frac{y}{C^{2}}-1.

Passo 3

Da separação de variáveis,
\frac{dy}{dx} =\pm\sqrt{\frac{y}{C^{2}}-1} \;\Longrightarrow\; dx =\frac{dy}{\sqrt{y/C^{2}-1}}.
Integrando,
x+K =2\,C\,\sqrt{\,y-C^{2}\,} \;\Longrightarrow\; \sqrt{y-C^{2}} =\frac{x+K}{2C} \;\Longrightarrow\; y(x) =C^{2}+\frac{(\,x+K\,)^{2}}{4\,C^{2}},
onde K e C são constantes a determinar via contorno.

Passo 4

Aplicamos y(0)=\tfrac1{\sqrt2} e y(1)=\tfrac1{\sqrt2}:
C^{2}+\frac{K^{2}}{4C^{2}}=\frac1{\sqrt2}, \quad C^{2}+\frac{(1+K)^{2}}{4C^{2}}=\frac1{\sqrt2}.
Subtraindo as duas equações obtém-se K=-\tfrac12. Substituindo em qualquer delas dá
C^{2}+\frac{(\tfrac12)^{2}}{4C^{2}} =\frac1{\sqrt2} \;\Longrightarrow\; 16\,C^{4}-8\sqrt2\,C^{2}+1=0.
Resolvendo em u=C^{2} surge
u=\frac{\sqrt2\pm1}{4}.

Passo 5

Escolhemos a raiz que mantém y(x)\ge C^{2} e produz o extremo de mínimo (a derivação mostra que a maior raiz é a adequada), ou seja
C^{2}=\frac{\sqrt2+1}{4}, \quad K=-\frac12.
Logo a extremal é
\boxed{% y(x) =C^{2}+\frac{(\,x-\tfrac12\,)^{2}}{4\,C^{2}} \quad\text{com}\quad C^{2}=\frac{\sqrt2+1}{4}. }

Resposta

y(x) =\frac{\sqrt2+1}{4} \;+\; \frac{\bigl(x-\tfrac12\bigr)^{2}}{\,4\,\bigl(\tfrac{\sqrt2+1}{4}\bigr)\,}.

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