(3,0 pts) Dada a função f definida por:
f(x)=\left\{\begin{array}{ccc} 2, & \text { se } & x \leq 0 \\\\ 3 x, & \text { se } & 0<x \leq 2 \\\ x^{2}+2, & \text { se } & x>2 \end{array}\right.
(a) Trace o gráfico de f e determine D(f) e \operatorname{Im}(f).
(b) Verifique a existência dos limites \lim _{x \rightarrow 0} f(x) e \lim _{x \rightarrow 2} f(x). Justifique sua resposta.
(c) Verifique a continuidade de f nos pontos x=0 e x=2. Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado define a função por partes
f(x)= \begin{cases} 2, & x\le0,\\\\ 3x, & 0<x\le2,\\\ x^2+2, & x>2, \end{cases}
e pede:
– (a) gráfico de f, domínio D(f) e imagem \operatorname{Im}(f);
– (b) existência de \lim_{x\to0}f(x) e de \lim_{x\to2}f(x);
– (c) continuidade em x=0 e em x=2.
Precisamos usar a definição de função por partes, calcular intervalos de valores em cada ramo, aplicar limites laterais e a definição de continuidade.

Passo 2

Para achar o domínio, observamos que f está definida em todos os x\le0, em todos os 0<x\le2 e em todos os x>2. Isso cobre toda a reta real, logo
D(f)=\mathbb{R}.

Passo 3

Para esboçar o gráfico e achar a imagem, analisamos cada ramo:
– Para x\le0, f(x)=2 é uma reta horizontal constante em y=2.
– Para 0<x\le2, f(x)=3x é uma reta que vai de f(0^+)\to0 até f(2)=6. Como o ramo não inclui x=0, y=0 não é atingido, e inclui y=6.
– Para x>2, f(x)=x^2+2 é uma parábola que para x=2^+ vale 6 (não inclui o ponto em x=2), e cresce para +\infty.
Assim a imagem é
\operatorname{Im}(f)=\{2\}\,\cup\,(0,6]\,\cup\,(6,\infty)=(0,\infty).

Passo 4

Calculamos os limites:
– Em x\to0:
\lim_{x\to0^-}f(x)=2,\qquad \lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^+}3x=0.
Como 2\neq0, o limite \lim_{x\to0}f(x) não existe.
– Em x\to2:
\lim_{x\to2^-}f(x)=\lim_{x\to2^-}3x=6,\qquad \lim_{x\to2^+}f(x)=\lim_{x\to2^+}(x^2+2)=6.
Como ambos dão 6, temos
\lim_{x\to2}f(x)=6.

Passo 5

Para continuidade nos pontos:
– Em x=0: f(0)=2, mas \lim_{x\to0}f(x) não existe. Logo f é descontínua em 0.
– Em x=2: f(2)=3\cdot2=6 e \lim_{x\to2}f(x)=6. Como valor e limite coincidem, f é contínua em 2.

Resposta

(a) O gráfico tem três partes: reta horizontal em y=2 para x\le0, reta y=3x em 0<x\le2 e parábola y=x^2+2 para x>2. D(f)=\mathbb{R}, \operatorname{Im}(f)=(0,\infty).
(b) \lim_{x\to0}f(x) não existe (limites laterais são 2 e 0); \lim_{x\to2}f(x)=6.
(c) f é descontínua em x=0 e contínua em x=2.

Exercícios relacionados