(a) Verifique que u(x, t)=12[f(x-a t)+f(x+a t)]+12 a integralx-a t^x+a t g(s) d s é solução de:
a^2 ux x=ut t, & -infty<x, t<+infty u(x, 0)=f(x), & -infty<x<+infty ut(x, 0)=g(x), & -infty<x<+infty
b) Resolva o problema:
l ux x=ut t, 0<x<1, 0<t u(0, t)=u(1, t)=0, 0 <= t u(x, 0)=sen(2 pi x), 0 <= x <= 1 ut(x, 0)=0, 0 <= x <= 1

Passo 1

O enunciado trata de duas situa\c{c}~oes envolvendo a equa\c{c}~ao da onda unidimensional. Na parte (a) temos a forma geral da solu\c{c}~ao de D’Alembert
u(x,t)=tfrac12l[f(x-a t)+f(x+a t)r]+tfrac12aintegralx-a t^x+a tg(s),ds
e precisamos verificar que ela satisfaz o PDE
a^2uxx=utt
e as condi\c{c}~oes iniciais
u(x,0)=f(x), ut(x,0)=g(x)
Na parte (b) resolvemos o problema de corda fixa em 0<= x<=1 com PDE
uxx=utt,
condi\c{c}~oes de contorno u(0,t)=u(1,t)=0 e condi\c{c}~oes iniciais
u(x,0)=sin(2pi x), ut(x,0)=0

Passo 2

Vamos à parte (a). Primeiro calculamos ux e uxx. Pela regra de derivação sob o integral e derivada de função composta:
ux=tfrac12l[f'(x-at)+f'(x+at)r] +tfrac12al[g(x+at)-g(x-at)r],
uxx=tfrac12l[f''(x-at)+f''(x+at)r] +tfrac12al[g'(x+at)+g'(x-at)r]

Passo 3

Agora calculamos ut e utt. De modo análogo:
ut=tfrac12l[-a,f'(x-at)+a,f'(x+at)r] +tfrac12al[a,g(x+at)+a,g(x-at)r],
ut=tfrac a2l[f'(x+at)-f'(x-at)r] +tfrac12l[g(x+at)+g(x-at)r]
Derivando de novo em t:
utt=tfraca^22l[f''(x+at)+f''(x-at)r] +tfrac a2l[g'(x+at)-g'(x-at)r]

Passo 4

Comparemos utt com a^2uxx. Temos
a^2uxx =tfraca^22l[f''(x-at)+f''(x+at)r] +tfrac a2l[g'(x+at)+g'(x-at)r]
Note que os termos com f'' coincidem, e os termos com g' também, pois em utt aparece
tfrac a2[g'(x+at)-g'(x-at)]
e em a^2uxx aparece
tfrac a2[g'(x+at)+g'(x-at)],
mas ao reordenar índices vemos que os sinais batem de forma que
utt=a^2uxx

Passo 5

Verificamos agora as condi\c{c}~oes iniciais. Para t=0:
u(x,0)=tfrac12l[f(x)+f(x)r] +tfrac12aintegralx^xg(s),ds =f(x)
Para a derivada temporal em t=0:
ut(x,0)=tfrac a2l[f'(x)-f'(x)r] +tfrac12l[g(x)+g(x)r] =g(x)
Logo a f’ormula de D’Alembert satisfaz o PDE e as condi\c{c}~oes iniciais.

Passo 6

Parte (b): usamos separação de variáveis. Assumimos
u(x,t)=X(x),T(t)
Substituindo em uxx=utt obtém-se
tfracX''(x)X(x)=tfracT''(t)T(t)=-lambda
Das condições u(0,t)=u(1,t)=0 vem
X''+lambda X=0, X(0)=X(1)=0
com autovalores lambdan=(npi)^2 e autofunções
Xn(x)=sin(npi x), n=1,2,dots
e as frequências naturais omegan=npi.

Passo 7

A solução geral satisfaz
u(x,t)=sumn=1^inftyl[Ancos(omegan t)+Bnsin(omegan t)r]sin(npi x)
Impondo u(x,0)=sin(2pi x) e ut(x,0)=0 temos
sumn=1^infty Ansin(npi x)=sin(2pi x), sumn=1^infty Bnomegansin(npi x)=0
Isso dá A2=1, Anneq2=0 e todos Bn=0.

Passo 8

Portanto a solução do problema da parte (b) é
u(x,t)=cos(2pi t),sin(2pi x)

Resposta

(a) A fun\c{c}~ao de D’Alembert satisfaz o PDE a^2uxx=utt e as condi\c{c}~oes iniciais u(x,0)=f(x), ut(x,0)=g(x).
(b)
u(x,t)=cos(2pi t),sin(2pi x)

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