(2.5 pt.) Seja
um homomorfismo de grupos e seja
.
a) Suponhamos que
. Provar que
b) Suponhamos que
. Provar que
a) Suponhamos que
Passo 1
O enunciado dá um homomorfismo de grupos
e um subgrupo
de
. Definimos em bloco a pré-imagem de
por
:
Precisamos mostrar que (a) se
então
, e que (b) se
então
. Vamos usar o critério de subgrupo (contém identidade, fechadura e inversos) e o fato de que
preserva produto e inverso.
Passo 2
Provar
.
- Não-vazio e identidade: como
temos e , logo . - Fechadura: se
então e, por ser subgrupo, . Mas , daí . - Inversos: se
então e, por ser subgrupo, . Como , temos .
Portantosatisfaz o critério de subgrupo.
Passo 3
Provar
quando
.
Seja e
. Então
e, por normalidade de
, para qualquer
vale
. Em particular, para
obtemos
Seja
logo
. Assim
é normal em
.
Resposta
(a)
.
(b) .
(b)