(2.5 pt.) Seja \varphi: G \rightarrow H um homomorfismo de grupos e seja K \leq H.
a) Suponhamos que K \leq H. Provar que
\varphi^{-1}(K)=\{g \in G \mid \varphi(g) \in K\} \leq G .
b) Suponhamos que K \triangleleft H. Provar que
\varphi^{-1}(K)=\{g \in G \mid \varphi(g) \in K\} \triangleleft G .

Passo 1

O enunciado dá um homomorfismo de grupos \varphi\colon G\to H e um subgrupo K de H. Definimos em bloco a pré-imagem de K por \varphi:
\varphi^{-1}(K)=\{g\in G\mid \varphi(g)\in K\}.
Precisamos mostrar que (a) se K\le H então \varphi^{-1}(K)\le G, e que (b) se K\triangleleft H então \varphi^{-1}(K)\triangleleft G. Vamos usar o critério de subgrupo (contém identidade, fechadura e inversos) e o fato de que \varphi preserva produto e inverso.

Passo 2

Provar \varphi^{-1}(K)\le G.
  1. Não-vazio e identidade: como K\le H temos e_H\in K e \varphi(e_G)=e_H, logo e_G\in\varphi^{-1}(K).
  2. Fechadura: se a,b\in\varphi^{-1}(K) então \varphi(a),\varphi(b)\in K e, por ser subgrupo, \varphi(a)\varphi(b)\in K. Mas \varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b), daí ab\in\varphi^{-1}(K).
  3. Inversos: se a\in\varphi^{-1}(K) então \varphi(a)\in K e, por ser subgrupo, \varphi(a)^{-1}\in K. Como \varphi(a^{-1})=\varphi(a)^{-1}, temos a^{-1}\in\varphi^{-1}(K).
    Portanto \varphi^{-1}(K) satisfaz o critério de subgrupo.

Passo 3

Provar \varphi^{-1}(K)\triangleleft G quando K\triangleleft H.
Seja g\in G e x\in\varphi^{-1}(K). Então \varphi(x)\in K e, por normalidade de K, para qualquer h\in H vale h\,\varphi(x)\,h^{-1}\in K. Em particular, para h=\varphi(g) obtemos
\varphi\bigl(gxg^{-1}\bigr) =\varphi(g)\,\varphi(x)\,\varphi(g)^{-1}\in K,
logo gxg^{-1}\in\varphi^{-1}(K). Assim \varphi^{-1}(K) é normal em G.

Resposta

(a) \varphi^{-1}(K)\le G.
(b) \varphi^{-1}(K)\triangleleft G.

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