(3 pt.) Suponhamos que n=r s(n, r, s \in \mathbb{N}, n, r, s \geq 2) onde máximo divisor comum de r e s é igual ao 1((r, s)=1). Provar que
(\mathbb{Z} / r \mathbb{Z}) \times(\mathbb{Z} / s \mathbb{Z}) \cong \mathbb{Z} / n \mathbb{Z} .
(Instrução: Considerar os subgrupos \langle r+n \mathbb{Z}\rangle,\langle s+n \mathbb{Z}\rangle \leq \mathbb{Z} / n \mathbb{Z}.)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se n=rs com r,s\ge2 e \gcd(r,s)=1, então há um isomorfismo de grupos
(\mathbb{Z}/r\mathbb{Z})\times(\mathbb{Z}/s\mathbb{Z}) \;\cong\; \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}.
O conteúdo principal é o Teorema Chinês do Resto para grupos cíclicos. Vamos usar os subgrupos \langle r + n\mathbb{Z}\rangle e \langle s + n\mathbb{Z}\rangle de \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}.

Passo 2

Definimos
H = \big\langle r + n\mathbb{Z}\big\rangle \quad\text{e}\quad K = \big\langle s + n\mathbb{Z}\big\rangle
como subgrupos de \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}. O elemento r+n\mathbb{Z} tem ordem
\frac{n}{\gcd(n,r)} =\frac{rs}{r} =s,
logo |H|=s. De modo análogo, |K|=r.

Passo 3

Mostramos que H\cap K é trivial. Se x+n\mathbb{Z}\in H\cap K, então
x+n\mathbb{Z} =k\,(r+n\mathbb{Z}) =\ell\,(s+n\mathbb{Z})
para alguns inteiros k,\ell. Assim x\equiv kr\pmod n e x\equiv \ell s\pmod n. Como x é múltiplo de r e de s em \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, segue que x é múltiplo de \lcm(r,s)=rs=n. Logo x+n\mathbb{Z}=0+n\mathbb{Z}. Portanto
H\cap K = \{\,0+n\mathbb{Z}\}.

Passo 4

Mostramos que HK=\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}. Pela identidade de Bézout, existem inteiros u,v tais que
ru + sv = 1.
Dados a+n\mathbb{Z}\in\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, escrevemos
a+n\mathbb{Z} = a\,(ru+sv) + n\mathbb{Z} = u\,(r a + n\mathbb{Z}) \;+\; v\,(s a + n\mathbb{Z}) \;\in\; H\,K.
Logo \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}=HK.

Passo 5

Como H\cap K é trivial e HK=\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, o grupo \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} é o produto interno direto de H e K. Além disso H é cíclico de ordem s (logo isomorfo a \mathbb{Z}/s\mathbb{Z}) e K é cíclico de ordem r (isomorfo a \mathbb{Z}/r\mathbb{Z}). Concluímos
\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \;\cong\; H \times K \;\cong\; \mathbb{Z}/s\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/r\mathbb{Z} \;\cong\; \mathbb{Z}/r\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/s\mathbb{Z}.

Resposta

\displaystyle (\mathbb{Z}/r\mathbb{Z})\times(\mathbb{Z}/s\mathbb{Z})\cong \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}.

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