(3 pt.) Suponhamos que
onde máximo divisor comum de
e
é igual ao
. Provar que
(Instrução: Considerar os subgrupos
.)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se
com
e
, então há um isomorfismo de grupos
O conteúdo principal é o Teorema Chinês do Resto para grupos cíclicos. Vamos usar os subgrupos
e
de
.
Passo 2
Definimos
como subgrupos de
. O elemento
tem ordem
logo
. De modo análogo,
.
Passo 3
Mostramos que
é trivial. Se
, então
para alguns inteiros
. Assim
e
. Como
é múltiplo de
e de
em
, segue que
é múltiplo de
. Logo
. Portanto
Passo 4
Mostramos que
. Pela identidade de Bézout, existem inteiros
tais que
Dados
, escrevemos
Logo
.
Passo 5
Como
é trivial e
, o grupo
é o produto interno direto de
e
. Além disso
é cíclico de ordem
(logo isomorfo a
) e
é cíclico de ordem
(isomorfo a
). Concluímos