(1.5 pt.) Suponhamos que um grupo
age em um conjunto
. Suponhamos que os conjuntos
são conjuntos
-invariantes. Provar que os conjuntos
e
são conjuntos
-invariantes.
Passo 1
O enunciado fala de uma ação de grupo: temos um grupo
que age em um conjunto
. Diz-se que um subconjunto
é
-invariante se, para todo
, vale
ou seja, sempre que
então
. Sabemos que cada
(com
) é
-invariante e queremos mostrar que
também são
-invariantes. Vamos usar apenas a definição de invariância para interseção e para união.
Passo 2
Provar que
é
-invariante. Seja
e seja
. Por definição de interseção temos
Como cada
é
-invariante, ao aplicarmos
a
obtemos
Logo
pertence a todos os
, ou seja,
Isso prova que
, isto é, a interseção é
-invariante.
Passo 3
Provar que
é
-invariante. Tome
e
. Pela definição de união existe algum índice
tal que
Como
é
-invariante, segue que
Evidentemente então
está em pelo menos um dos
, logo
Assim
também satisfaz
.
Resposta
Tanto
quanto
são subconjuntos
-invariantes de
.