(1.5 pt.) Suponhamos que um grupo G age em um conjunto X. Suponhamos que os conjuntos Y_{i}, i \in I são conjuntos G-invariantes. Provar que os conjuntos \bigcap_{i \in I} Y_{i} e \bigcup_{i \in I} Y_{i} são conjuntos G-invariantes.

Passo 1

O enunciado fala de uma ação de grupo: temos um grupo G que age em um conjunto X. Diz-se que um subconjunto Y\subset X é G-invariante se, para todo g\in G, vale
g\cdot Y \subset Y,
ou seja, sempre que y\in Y então g\cdot y\in Y. Sabemos que cada Y_i (com i\in I) é G-invariante e queremos mostrar que
\bigcap_{i\in I} Y_i \quad\text{e}\quad \bigcup_{i\in I} Y_i
também são G-invariantes. Vamos usar apenas a definição de invariância para interseção e para união.

Passo 2

Provar que \displaystyle \bigcap_{i\in I}Y_i é G-invariante. Seja x\in \bigcap_{i\in I}Y_i e seja g\in G. Por definição de interseção temos
x\in \bigcap_{i\in I}Y_i \quad\Longrightarrow\quad \forall\,i\in I,\;x\in Y_i.
Como cada Y_i é G-invariante, ao aplicarmos g a x obtemos
\forall\,i\in I,\;g\cdot x\in Y_i.
Logo g\cdot x pertence a todos os Y_i, ou seja,
g\cdot x\in \bigcap_{i\in I}Y_i.
Isso prova que g\cdot\bigl(\bigcap_{i\in I}Y_i\bigr)\subset \bigcap_{i\in I}Y_i, isto é, a interseção é G-invariante.

Passo 3

Provar que \displaystyle \bigcup_{i\in I}Y_i é G-invariante. Tome x\in \bigcup_{i\in I}Y_i e g\in G. Pela definição de união existe algum índice j\in I tal que
x\in Y_j.
Como Y_j é G-invariante, segue que
g\cdot x\in Y_j.
Evidentemente então g\cdot x está em pelo menos um dos Y_i, logo
g\cdot x\in \bigcup_{i\in I}Y_i.
Assim \bigcup_{i\in I}Y_i também satisfaz g\cdot(\bigcup_{i\in I}Y_i)\subset \bigcup_{i\in I}Y_i.

Resposta

Tanto \displaystyle \bigcap_{i\in I}Y_i quanto \displaystyle \bigcup_{i\in I}Y_i são subconjuntos G-invariantes de X.

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