Seja G um grupo. Provar que
G / G \cong\left\{1_{G}\right\}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o quociente do grupo G por ele próprio é isomorfo ao grupo trivial \{1_{G}\}. O conteúdo principal aqui é o Teorema do Isomorfismo de Grupos, que diz que, para qualquer homomorfismo \varphi\colon G\to H, tem-se
G/\ker\varphi\;\cong\;\im\varphi.
Vamos construir um homomorfismo cujo núcleo seja exatamente G e cuja imagem seja \{1_{G}\}.

Passo 2

Definimos a aplicação
\varphi\colon G \;\longrightarrow\;\{1_{G}\} \quad\text{por}\quad \varphi(g)=1_{G} \quad\forall\,g\in G.
  1. Para quaisquer g,h\in G, \varphi(gh)=1_{G}=1_{G}\cdot1_{G}=\varphi(g)\,\varphi(h),
    logo \varphi é homomorfismo.
  2. O núcleo é
\ker\varphi=\{\,g\in G\mid\varphi(g)=1_{G}\} = G,
pois todo elemento vai para 1_{G}.
3. A imagem é
\im\varphi=\{\,1_{G}\}= \{1_{G}\}.

Passo 3

Pelo Teorema do Isomorfismo de Grupos,
G/\ker\varphi \;\cong\;\im\varphi.
Como \ker\varphi=G e \im\varphi=\{1_{G}\}, concluímos
G/G \;\cong\;\{1_{G}\}.

Resposta

G / G \cong \{1_{G}\}.

Exercícios relacionados