Seja
um grupo. Provar que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o quociente do grupo
por ele próprio é isomorfo ao grupo trivial
. O conteúdo principal aqui é o Teorema do Isomorfismo de Grupos, que diz que, para qualquer homomorfismo
, tem-se
Vamos construir um homomorfismo cujo núcleo seja exatamente
e cuja imagem seja
.
Passo 2
Definimos a aplicação
- Para quaisquer
, ,
logoé homomorfismo. - O núcleo é
pois todo elemento vai para
.
3. A imagem é
3. A imagem é
Passo 3
Pelo Teorema do Isomorfismo de Grupos,
Como
e
, concluímos