Seja
um grupo. Provar que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dado um grupo
, o quociente pelo subgrupo trivial
é isomorfo ao próprio
. Vamos usar a definição de grupo quociente, observar que
é normal em
e construir um mapeamento explícito que seja homomorfismo e bijetivo.
Passo 2
Verificamos que
é subgrupo normal de
. Como
, para todo
tem-se
e
. Logo,
e
está bem definido.
Passo 3
Descrevemos os cosets de
em
. Para
,
e de modo semelhante
. Portanto cada classe lateral é simplesmente o singleton
, e os elementos de
são todos esses conjuntos
.
Passo 4
Definimos a aplicação
Aqui
e estamos mandando essa classe em seu representante. Isso é bem-definido porque, se
, então
, logo
.
Passo 5
Mostramos que
preserva o produto. Tomando duas classes
e
,
Portanto
é homomorfismo de grupos.
Passo 6
Verificamos que
é bijetiva.
- Injetividade: se
, então , daí . - Sobrejetividade: para todo
basta considerar a classe , pois .
Passo 7
Como
é homomorfismo bijetivo, concluímos que é isomorfismo. Logo
Resposta
Um isomorfismo canônico é dado por