Seja G um grupo. Provar que
G /\left\{1_{G}\right\} \cong G

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dado um grupo G, o quociente pelo subgrupo trivial \{1_G\} é isomorfo ao próprio G. Vamos usar a definição de grupo quociente, observar que \{1_G\} é normal em G e construir um mapeamento explícito que seja homomorfismo e bijetivo.

Passo 2

Verificamos que H = \{1_G\} é subgrupo normal de G. Como 1_G\in H, para todo h\in H tem-se h^{-1}\in H e ghg^{-1}=g1_Gg^{-1}=1_G\in H. Logo, H\trianglelefteq G e G/H está bem definido.

Passo 3

Descrevemos os cosets de H em G. Para g\in G,
gH=\{g\cdot1_G\}=\{g\},
e de modo semelhante Hg=\{g\}. Portanto cada classe lateral é simplesmente o singleton \{g\}, e os elementos de G/H são todos esses conjuntos \{g\}.

Passo 4

Definimos a aplicação
\varphi\colon G/H \to G, \qquad \varphi\bigl(gH\bigr)=g.
Aqui gH=\{g\} e estamos mandando essa classe em seu representante. Isso é bem-definido porque, se gH = g'H, então \{g\}=\{g'\}, logo g=g'.

Passo 5

Mostramos que \varphi preserva o produto. Tomando duas classes gH e g'H,
\varphi\bigl((gH)(g'H)\bigr) =\varphi\bigl(gg'H\bigr) =gg' =\varphi(gH)\,\varphi(g'H).
Portanto \varphi é homomorfismo de grupos.

Passo 6

Verificamos que \varphi é bijetiva.
  • Injetividade: se \varphi(gH)=\varphi(g'H), então g=g', daí gH=g'H.
  • Sobrejetividade: para todo x\in G basta considerar a classe xH, pois \varphi(xH)=x.

Passo 7

Como \varphi é homomorfismo bijetivo, concluímos que é isomorfismo. Logo
G/\{1_G\}\cong G.

Resposta

Um isomorfismo canônico é dado por
\varphi\colon G/\{1_G\}\to G,\quad \varphi\bigl(g\{1_G\}\bigr)=g.

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