Resolva a equação diferencial dada sujeita às condições indicadas.
y^{\prime \prime}-y=x+\operatorname{sen} x, \quad y(0)=2, \quad y^{\prime}(0)=3

Passo 1

O enunciado é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - y = x + \sin x
sujeita a
y(0)=2,\quad y'(0)=3.
Vamos resolver em três etapas: (i) achar a solução da homogênea y_h, (ii) encontrar uma solução particular y_p via coeficientes indeterminados, e (iii) aplicar as condições iniciais para determinar as constantes.

Passo 2

A parte homogênea satisfaz
y_h'' - y_h = 0.
A equação característica é r^2 - 1 = 0, cujas raízes são r = \pm1. Logo
y_h(x) = C_1 e^x + C_2 e^{-x}.

Passo 3

Para a contribuição da parte polinomial x, tomamos
y_{p1}(x) = Ax + B.
Então
y_{p1}' = A,\quad y_{p1}''=0,
e ao substituir em y''-y = x vem
0 - (Ax + B) = x \quad\Rightarrow\quad -Ax - B = x.
Comparando coeficientes: -A = 1 e -B = 0, obtemos
A = -1,\quad B = 0,
logo
y_{p1}(x) = -x.

Passo 4

Para a parte \sin x, escolhemos
y_{p2}(x) = M\cos x + N\sin x.
Calculamos
y_{p2}' = -M\sin x + N\cos x, \quad y_{p2}'' = -M\cos x - N\sin x,
e substituímos em y''-y = \sin x:
(-M\cos x - N\sin x) - (M\cos x + N\sin x) = -2M\cos x - 2N\sin x \stackrel!= \sin x.
Assim
-2M = 0,\quad -2N = 1 \quad\Rightarrow\quad M=0,\;N=-\tfrac12,
portanto
y_{p2}(x) = -\tfrac12\sin x.

Passo 5

A solução geral é
y(x) = y_h(x) + y_{p1}(x) + y_{p2}(x) = C_1 e^x + C_2 e^{-x} - x - \tfrac12\sin x.
Derivando,
y'(x) = C_1 e^x - C_2 e^{-x} - 1 - \tfrac12\cos x.

Passo 6

Aplicando y(0)=2 e y'(0)=3:
y(0)=C_1 + C_2 - 0 - 0 = 2 \quad\Rightarrow\quad C_1 + C_2 = 2,
y'(0)=C_1 - C_2 - 1 - \tfrac12 = 3 \quad\Rightarrow\quad C_1 - C_2 = 3 + 1 + \tfrac12 = \tfrac92.
Resolvendo o sistema:
C_1 = \tfrac{13}{4}, \quad C_2 = -\tfrac{5}{4}.

Resposta

y(x) = \frac{13}{4}e^x \;-\;\frac{5}{4}e^{-x}\;-\;x\;-\;\frac12\sin x.

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