Resolva a equação diferencial dada sujeita às condições indicadas.
Passo 1
O enunciado é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
sujeita a
Vamos resolver em três etapas: (i) achar a solução da homogênea
, (ii) encontrar uma solução particular
via coeficientes indeterminados, e (iii) aplicar as condições iniciais para determinar as constantes.
Passo 2
A parte homogênea satisfaz
A equação característica é
, cujas raízes são
. Logo
Passo 3
Para a contribuição da parte polinomial
, tomamos
Então
e ao substituir em
vem
Comparando coeficientes:
e
, obtemos
logo
Passo 4
Para a parte
, escolhemos
Calculamos
e substituímos em
:
Assim
portanto
Passo 5
A solução geral é
Derivando,
Passo 6
Aplicando
e
:
Resolvendo o sistema: