Resolva a equação diferencial dada sujeita às condições indicadas.
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+2 y=0, \quad y(\pi / 2)=0, \quad y(\pi)=-1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 2y' + 2y = 0
sujeita às condições de contorno y(\pi/2)=0 e y(\pi)=-1. Para isso, vamos usar o método do polinômio característico, encontrar a solução geral e depois determinar as constantes a partir das condições de contorno.

Passo 2

Formamos o polinômio característico associado:
r^2 - 2r + 2 = 0.
As raízes são
r = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2} = 1 \pm i.
Como as raízes são complexas conjugadas 1 \pm i, a solução geral da ODE é
y(x) = e^{x}\bigl(C_{1}\cos x + C_{2}\sin x\bigr),
onde C_{1} e C_{2} são constantes a determinar.

Passo 3

Aplicamos a condição y(\pi/2)=0. Substituindo x=\pi/2 na solução geral:
y\bigl(\tfrac\pi2\bigr) = e^{\pi/2}\bigl(C_{1}\cos(\tfrac\pi2) + C_{2}\sin(\tfrac\pi2)\bigr) = e^{\pi/2}\bigl(0 + C_{2}\cdot1\bigr) = C_{2}\,e^{\pi/2}.
Como isso deve ser zero, concluímos
C_{2} = 0.
Logo a solução simplifica para
y(x) = C_{1}\,e^{x}\cos x.

Passo 4

Agora usamos a condição y(\pi)=-1. Substituindo x=\pi:
y(\pi) = C_{1}\,e^{\pi}\cos(\pi) = C_{1}\,e^{\pi}(-1) = -C_{1}\,e^{\pi}.
Como isso deve ser igual a -1, temos
-\,C_{1}\,e^{\pi} = -1 \quad\Longrightarrow\quad C_{1} = e^{-\pi}.
Assim a solução final é
y(x) = e^{-\pi}\,e^{x}\cos x = e^{\,x-\pi}\cos x.

Resposta

y(x) = e^{\,x-\pi}\cos x.

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