Resolva a equação diferencial dada sujeita às condições indicadas.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
sujeita às condições de contorno
e
. Para isso, vamos usar o método do polinômio característico, encontrar a solução geral e depois determinar as constantes a partir das condições de contorno.
Passo 2
Formamos o polinômio característico associado:
As raízes são
Como as raízes são complexas conjugadas
, a solução geral da ODE é
onde
e
são constantes a determinar.
Passo 3
Aplicamos a condição
. Substituindo
na solução geral:
Como isso deve ser zero, concluímos
Logo a solução simplifica para
Passo 4
Agora usamos a condição
. Substituindo
:
Como isso deve ser igual a
, temos
Assim a solução final é