(2 pto) Encontre o polinômio de Taylor, de grau 2, de
f(x, y)=e^{x^{2}+y^{2}}-\cos (x-y)
em torno da origem.

Passo 1

O enunciado pede o polinômio de Taylor de grau 2 da função
f(x,y)=e^{x^{2}+y^{2}}-\cos(x-y)
em torno da origem. O conteúdo é expansão de Taylor em duas variáveis, que requer o cálculo de f(0,0), das derivadas parciais de primeira ordem em (0,0) e das derivadas parciais de segunda ordem em (0,0).

Passo 2

Lembrando que o polinômio de Taylor de grau 2 de f em (0,0) é
P_{2}(x,y)=f(0,0)+f_{x}(0,0)\,x+f_{y}(0,0)\,y +\frac{1}{2}\bigl(f_{xx}(0,0)\,x^{2}+2f_{xy}(0,0)\,x y+f_{yy}(0,0)\,y^{2}\bigr).

Passo 3

Vamos achar f(0,0), f_{x}(0,0) e f_{y}(0,0).
\bullet Em (0,0) vale
f(0,0)=e^{0+0}-\cos(0)=1-1=0.
\bullet Primeiro calculamos as derivadas gerais:
O termo e^{x^{2}+y^{2}} tem
\frac{\partial}{\partial x}e^{x^{2}+y^{2}}=2x\,e^{x^{2}+y^{2}},\quad \frac{\partial}{\partial y}e^{x^{2}+y^{2}}=2y\,e^{x^{2}+y^{2}}.
O termo -\cos(x-y)
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(-\cos(x-y)\bigr)=\sin(x-y), \qquad \frac{\partial}{\partial y}\bigl(-\cos(x-y)\bigr)=-\sin(x-y).
Logo,
f_{x}(x,y)=2x\,e^{x^{2}+y^{2}}+\sin(x-y), \quad f_{y}(x,y)=2y\,e^{x^{2}+y^{2}}-\sin(x-y).
Avaliando em (0,0):
f_{x}(0,0)=0+0=0, \quad f_{y}(0,0)=0-0=0.

Passo 4

Agora as derivadas de segunda ordem. Diferenciando as expressões acima:
f_{xx}(x,y) =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(2x\,e^{x^{2}+y^{2}}\bigr) +\frac{\partial}{\partial x}\sin(x-y) =2e^{x^{2}+y^{2}}+4x^{2}e^{x^{2}+y^{2}}+\cos(x-y),
f_{yy}(x,y) =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(2y\,e^{x^{2}+y^{2}}\bigr) +\frac{\partial}{\partial y}\bigl(-\sin(x-y)\bigr) =2e^{x^{2}+y^{2}}+4y^{2}e^{x^{2}+y^{2}}+\cos(x-y),
f_{xy}(x,y) =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(2x\,e^{x^{2}+y^{2}}\bigr) +\frac{\partial}{\partial y}\sin(x-y) =4x y\,e^{x^{2}+y^{2}}-\cos(x-y).

Passo 5

Avaliando em (0,0):
f_{xx}(0,0)=2\cdot1+0+1=3, \quad f_{yy}(0,0)=2\cdot1+0+1=3, \quad f_{xy}(0,0)=0-1=-1.

Passo 6

Substituindo tudo em P_{2}(x,y):
P_{2}(x,y) =0 + 0\cdot x + 0\cdot y +\tfrac12\bigl(3x^{2}+2(-1)x y+3y^{2}\bigr) =\tfrac12(3x^{2}-2x y+3y^{2}).

Resposta

P_{2}(x,y)=\frac{3}{2}x^{2}-x y+\frac{3}{2}y^{2}.

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