(3 pts) Use multiplicador de Lagrange para encontrar os pontos de mínimo e máximo de f(x, y)=x y na região elíptica
g(x, y)=3 x^{2}+y^{2} \leq 6
Explique seu procedimento.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os extremos de
f(x,y)=x\,y
na região elíptica fechada e limitada por
g(x,y)=3x^{2}+y^{2}\le6,
usando multiplicadores de Lagrange. Vamos primeiro verificar possíveis pontos críticos internos e depois tratar a fronteira g(x,y)=6.

Passo 2

Pontos críticos internos surgem quando \nabla f=0. Como
\nabla f=(\partial_{x}f,\partial_{y}f)=(y,\,x),
igualamos a zero:
y=0,\quad x=0.
Esse ponto (0,0) está dentro da região (pois 3\cdot0^{2}+0^{2}=0\le6) e vale
f(0,0)=0.

Passo 3

Na fronteira usamos o método de Lagrange. Escrevemos
\nabla f=\lambda\,\nabla g
com
\nabla g=(6x,\,2y),
de modo que as equações são
y = \lambda\,6x, \quad x = \lambda\,2y, \quad 3x^{2}+y^{2}=6.

Passo 4

Supondo x\neq0 e y\neq0, das duas primeiras igualdades obtemos
\lambda = \frac{y}{6x}, \quad \lambda = \frac{x}{2y} \quad\Longrightarrow\quad \frac{y}{6x}=\frac{x}{2y} \quad\Longrightarrow\quad 2y^{2}=6x^{2} \quad\Longrightarrow\quad y^{2}=3x^{2}.
Substituindo em 3x^{2}+y^{2}=6
3x^{2}+3x^{2}=6 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}=1 \quad\Longrightarrow\quad x=\pm1, \quad y=\pm\sqrt{3}
com y tendo o mesmo sinal de x. Os quatro pontos são
(1,\sqrt3), (1,-\sqrt3), (-1,\sqrt3) e (-1,-\sqrt3).

Passo 5

Agora avaliamos f(x,y)=xy nos pontos encontrados e no interior:
f(1,\sqrt3)=\sqrt3, \quad f(1,-\sqrt3)=-\sqrt3,
f(-1,\sqrt3)=-\sqrt3, \quad f(-1,-\sqrt3)=\sqrt3, \quad f(0,0)=0.
O maior valor obtido é \sqrt3 e o menor é -\sqrt3. O valor 0 em (0,0) fica entre esses extremos.

Resposta

Máximos globais:
f_{\max}=\sqrt3 \quad\text{nos pontos}\quad (1,\sqrt3)\;\text{e}\;(-1,-\sqrt3).
Mínimos globais:
f_{\min}=-\sqrt3 \quad\text{nos pontos}\quad (1,-\sqrt3)\;\text{e}\;(-1,\sqrt3).

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