(3 pts) Use multiplicador de Lagrange para encontrar os pontos de mínimo e máximo de
na região elíptica
Explique seu procedimento.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os extremos de
na região elíptica fechada e limitada por
usando multiplicadores de Lagrange. Vamos primeiro verificar possíveis pontos críticos internos e depois tratar a fronteira
.
Passo 2
Pontos críticos internos surgem quando
. Como
igualamos a zero:
Esse ponto
está dentro da região (pois
) e vale
Passo 3
Na fronteira usamos o método de Lagrange. Escrevemos
com
de modo que as equações são
Passo 4
Supondo
e
, das duas primeiras igualdades obtemos
Substituindo em
dá
com
tendo o mesmo sinal de
. Os quatro pontos são
,
,
e
.
Passo 5
Agora avaliamos
nos pontos encontrados e no interior:
O maior valor obtido é
e o menor é
. O valor
em
fica entre esses extremos.
Resposta
Máximos globais:
Mínimos globais: