( 2 pts) Discuta a natureza dos pontos críticos de
Passo 1
O enunciado pede para encontrar e classificar os pontos críticos da função
ou seja, resolver
e usar o teste da matriz Hessiana para decidir se cada ponto crítico é mínimo local, máximo local ou ponto de sela.
Passo 2
Calcule as derivadas parciais de primeira ordem:
Para pontos críticos, impomos
Da primeira vem
. Substituindo na segunda:
Se
, então
. Se
, então
.
Logo, os únicos pontos críticos são e
.
Logo, os únicos pontos críticos são
Passo 3
Agora monte a matriz Hessiana
cujos elementos são as segundas derivadas:
Assim
O determinante de
vale
]
Passo 4
Avalie
e
em cada ponto crítico:
Para
:
Quando
, o ponto é ponto de sela. Logo
é ponto de sela.
Para
:
Como
e
, o ponto é mínimo local.
Resposta
O ponto
é ponto de sela e o ponto
é mínimo local.