( 2 pts) Discuta a natureza dos pontos críticos de
f(x, y)=x^{3}+y^{3}-3 x y

Passo 1

O enunciado pede para encontrar e classificar os pontos críticos da função
f(x,y)=x^{3}+y^{3}-3xy,
ou seja, resolver \nabla f=0 e usar o teste da matriz Hessiana para decidir se cada ponto crítico é mínimo local, máximo local ou ponto de sela.

Passo 2

Calcule as derivadas parciais de primeira ordem:
f_x = \frac{\partial f}{\partial x}=3x^{2}-3y, \qquad f_y = \frac{\partial f}{\partial y}=3y^{2}-3x.
Para pontos críticos, impomos
3x^{2}-3y=0, \qquad 3y^{2}-3x=0.
Da primeira vem y=x^{2}. Substituindo na segunda:
3(x^{2})^{2}-3x=0 \;\Longrightarrow\; 3x^{4}-3x=0 \;\Longrightarrow\; x(x^{3}-1)=0 \;\Longrightarrow\; x=0\\ \text{ou}\\ x=1.
Se x=0, então y=0^{2}=0. Se x=1, então y=1^{2}=1.
Logo, os únicos pontos críticos são (0,0) e (1,1).

Passo 3

Agora monte a matriz Hessiana H cujos elementos são as segundas derivadas:
f_{xx}=6x, \quad f_{yy}=6y, \quad f_{xy}=f_{yx}=-3.
Assim
H(x,y)= \begin{pmatrix} 6x & -3 \\[6pt] -3 & 6y \end{pmatrix}.
O determinante de H vale
D(x,y)=f_{xx}\,f_{yy} - (f_{xy})^{2} = (6x)(6y)-(-3)^{2} =36\,xy-9.
]

Passo 4

Avalie D e f_{xx} em cada ponto crítico:
Para (0,0):
D(0,0)=36\cdot0\cdot0-9=-9<0.
Quando D<0, o ponto é ponto de sela. Logo (0,0) é ponto de sela.
Para (1,1):
D(1,1)=36\cdot1\cdot1-9=27>0, \qquad f_{xx}(1,1)=6\cdot1=6>0.
Como D>0 e f_{xx}>0, o ponto é mínimo local.

Resposta

O ponto (0,0) é ponto de sela e o ponto (1,1) é mínimo local.

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