(3 pts) Diga quais afirmações estão corretas:
(a)
, com
de classe
, define localmente uma função implícita
sempre que
.
(b) Se a derivada da função vínculo se anular, o método dos multiplicadores de Lagrange pode falhar.
(c) Se o multiplicador de Lagrange se anular, então não existe extremo condicionado.
(a)
(b) Se a derivada da função vínculo se anular, o método dos multiplicadores de Lagrange pode falhar.
(c) Se o multiplicador de Lagrange se anular, então não existe extremo condicionado.
Passo 1
O enunciado apresenta três afirmações sobre dois tópicos principais: o Teorema da Função Implícita (para
) e o método dos multiplicadores de Lagrange (para extremos condicionados). Vamos verificar cada afirmação usando o enunciado desses dois resultados.
Passo 2
Afirmação (a): “
, com
de classe
, define localmente uma função implícita
sempre que
.”
Pelo Teorema da Função Implícita, para resolver em forma
precisamos que o coeficiente de
seja não nulo, ou seja
Pelo Teorema da Função Implícita, para resolver
e não
. Logo, a afirmação (a) é falsa.
Passo 3
Afirmação (b): “Se a derivada da função vínculo se anular, o método dos multiplicadores de Lagrange pode falhar.”
A “derivada da função vínculo” corresponde ao gradiente quando a restrição é
. Se
, a condição de Lagrange
A “derivada da função vínculo” corresponde ao gradiente
fica sem informação útil (pois
anula o segundo membro), podendo não detectar extremos condicionados. Portanto, (b) é verdadeira.
Passo 4
Afirmação (c): “Se o multiplicador de Lagrange se anular, então não existe extremo condicionado.”
O fato de na condição
O fato de
não impede extrema: por exemplo, se a restrição não força mudança na direção de
, pode ocorrer um extremo com
. Assim,
não implica ausência de extremo. Logo, (c) é falsa.
Resposta
(b)