(3 pts) Diga quais afirmações estão corretas:
(a) F(x, y)=0, com F de classe \mathrm{C}^{1}, define localmente uma função implícita y(x) sempre que \partial F / \partial x\left(x_{0}, y_{0}\right) \neq 0.
(b) Se a derivada da função vínculo se anular, o método dos multiplicadores de Lagrange pode falhar.
(c) Se o multiplicador de Lagrange se anular, então não existe extremo condicionado.

Passo 1

O enunciado apresenta três afirmações sobre dois tópicos principais: o Teorema da Função Implícita (para F(x,y)=0) e o método dos multiplicadores de Lagrange (para extremos condicionados). Vamos verificar cada afirmação usando o enunciado desses dois resultados.

Passo 2

Afirmação (a): “ F(x,y)=0, com F de classe \mathrm{C}^1, define localmente uma função implícita y(x) sempre que \partial F/\partial x(x_0,y_0)\neq0.”
Pelo Teorema da Função Implícita, para resolver F(x,y)=0 em forma y=y(x) precisamos que o coeficiente de dy seja não nulo, ou seja
\frac{\partial F}{\partial y}(x_0,y_0)\neq0,
e não \partial F/\partial x. Logo, a afirmação (a) é falsa.

Passo 3

Afirmação (b): “Se a derivada da função vínculo se anular, o método dos multiplicadores de Lagrange pode falhar.”
A “derivada da função vínculo” corresponde ao gradiente \nabla g quando a restrição é g(x,y)=0. Se \nabla g(x_0,y_0)=0, a condição de Lagrange
\nabla f(x_0,y_0)=\lambda\,\nabla g(x_0,y_0)
fica sem informação útil (pois \nabla g=0 anula o segundo membro), podendo não detectar extremos condicionados. Portanto, (b) é verdadeira.

Passo 4

Afirmação (c): “Se o multiplicador de Lagrange se anular, então não existe extremo condicionado.”
O fato de \lambda=0 na condição
\nabla f=\lambda\,\nabla g
não impede extrema: por exemplo, se a restrição não força mudança na direção de \nabla f, pode ocorrer um extremo com \lambda=0. Assim, \lambda=0 não implica ausência de extremo. Logo, (c) é falsa.

Resposta

(b)

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