[ 1,0 pto extra] Mostre que ln (x y)=ln (x)+ln (y) para todo x, y>0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que ln(xy)=ln(x)+ln(y) para todo x,y>0. O conteúdo que vamos usar é a definição de ln como inversa da função exponencial exp e a propriedade fundamental
exp(a+b)=exp(a),exp(b)

Passo 2

Defina
a = ln(x), b = ln(y)
Pela inversão, exp(a)=x e exp(b)=y. Multiplicando essas igualdades,
exp(a),exp(b)=x,y
Mas pela propriedade de exp,
exp(a),exp(b)=exp(a+b),
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exp(a+b)=xy

Passo 3

Aplique ln em ambos os lados de exp(a+b)=xy:
lnl(exp(a+b)r)=ln(xy)
Como ln é inversa de exp, o lado esquerdo vira a+b. Portanto
ln(xy)=a+b=ln(x)+ln(y)

Resposta

Mostramos que, para todo x,y>0, vale
ln(xy)=ln(x)+ln(y)

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