Q 4 (2,5 ptos) Calcule a distância entre os planos paralelos:
\left\{\begin{array}{l} x=2-\lambda-\mu \\ y=\mu \\ z=\lambda \end{array} \quad(\lambda, \mu \in \mathbb{R}) \quad \text { e } \quad x+y+z=0\right.

Passo 1

O enunciado dá dois planos paralelos: um definido por coordenadas paramétricas
\begin{cases} x=2-\lambda-\mu,\\\ y=\mu,\\\ z=\lambda, \end{cases} \quad(\lambda,\mu\in\mathbb{R})
e o outro pela equação
x+y+z=0.
Queremos a distância entre esses planos. Para isso, vamos (i) encontrar um vetor normal comum aos dois planos, (ii) escrever a equação cartesiana do plano paramétrico, e (iii) aplicar a fórmula da distância entre planos paralelos.

Passo 2

Do plano paramétrico extraímos dois vetores diretores, tomando derivadas em relação a \lambda e \mu:
\mathbf{v}_\lambda = \frac{\partial(x,y,z)}{\partial\lambda}=(-1,0,1), \qquad \mathbf{v}_\mu = \frac{\partial(x,y,z)}{\partial\mu}=(-1,1,0).
O vetor normal \mathbf{n} ao plano é dado por \mathbf{v}_\lambda\times\mathbf{v}_\mu. Calculando o produto vetorial:
\mathbf{n} =\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ -1 & 0 & 1\\\\ -1 & 1 & 0 \end{vmatrix} =(-1,-1,-1),
que é paralelo a (1,1,1). Podemos usar \mathbf{n}=(1,1,1) como vetor normal comum.

Passo 3

Para achar a equação cartesiana do plano paramétrico, basta usar \mathbf{n}=(1,1,1) e um ponto que esteja no plano. Tomando \lambda=0 e \mu=0, obtemos o ponto P_0=(2,0,0). A equação é
1\,(x-2)+1\,(y-0)+1\,(z-0)=0 \quad\Longrightarrow\quad x+y+z=2.
Assim, os dois planos são
P_1: x+y+z=2, \quad P_2: x+y+z=0.

Passo 4

A distância d entre dois planos paralelos
P_1: \mathbf{n}\cdot\mathbf{r}=d_1, \quad P_2: \mathbf{n}\cdot\mathbf{r}=d_2
é dada por
d = \frac{\bigl|d_2 - d_1\bigr|}{\|\mathbf{n}\|}.
No nosso caso, \mathbf{n}=(1,1,1) e d_1=2, d_2=0, então
\|\mathbf{n}\|=\sqrt{1^2+1^2+1^2}=\sqrt{3}, \qquad d=\frac{|0-2|}{\sqrt{3}}=\frac{2}{\sqrt{3}}.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}

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