Q 5 (2,5 ptos) Ache a medida do ângulo entre os planos \pi_{1}: x-y+z=0 \mathrm{e}
\pi_{2}: X=(1,1,-2)+\lambda(0,1,0)+\mu(1,0,-1) .

Passo 1

O enunciado pede o ângulo entre dois planos em \mathbb{R}^3. Para isso, vamos usar o fato de que o ângulo \alpha entre planos \pi_1 e \pi_2 é dado pelo ângulo entre seus vetores normais \mathbf{n}_1 e \mathbf{n}_2, via
\cos\alpha = \frac{\bigl|\mathbf{n}_1\cdot\mathbf{n}_2\bigr|}{\|\mathbf{n}_1\|\;\|\mathbf{n}_2\|}.

Passo 2

Identificamos o vetor normal de \pi_1: x - y + z = 0. Os coeficientes das variáveis dão
\mathbf{n}_1 = (1,\,-1,\;1).

Passo 3

Para \pi_2, está dada em forma paramétrica com direções \mathbf{v}_1 = (0,1,0) e \mathbf{v}_2 = (1,0,-1). O normal é o produto vetorial
\mathbf{n}_2 = \mathbf{v}_1 \times \mathbf{v}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 1 & 0 & -1 \end{vmatrix} = (-1,\;1,\,-1).

Passo 4

Calculamos o cosseno do ângulo:
\mathbf{n}_1\cdot\mathbf{n}_2 = (1)(-1) + (-1)(1) + (1)(-1) = -3,
\|\mathbf{n}_1\| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{3}, \quad \|\mathbf{n}_2\| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{3},
\cos\alpha = \frac{\bigl|{-3}\bigr|}{\sqrt{3}\,\sqrt{3}} = \frac{3}{3} = 1.

Passo 5

Como \cos\alpha = 1, segue que
\alpha = \operatorname{arccos}(1) = 0^\circ.

Resposta

0^\circ

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