Q 2 (2,5 ptos) Faça uma translação em E^{2} de modo que a reta r: x+3 y-2=0 passe pela nova origem, sabendo que esta tem ordenada 1 . Encontre a equaçāo da reta no novo sistema.

Passo 1

O enunciado pede para fazermos uma translação no plano de forma que a reta
r:\;x+3y-2=0
passe pela nova origem, sabendo que essa nova origem tem ordenada 1\). Para resolver usamos o conceito de mudança de coordenadas por translação: se a nova origem \(O'\) tem coordenadas \((h,k)\) no sistema original, então \[\begin{cases} x = X + h,\\\ y = Y + k, \end{cases}
em que ((X,Y)] são as coordenadas no novo sistema de referência.

Passo 2

A nova origem O'=(h,k) deve pertencer à reta r. Como a ordenada de O' é 1, temos k=1. Logo, o ponto O'=(h,1) satisfaz
h + 3\cdot 1 - 2 = 0.

Passo 3

Resolvendo para h:
h + 3 - 2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad h + 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad h = -1.
Portanto a nova origem é O'=(-1,1).

Passo 4

Escrevemos a mudança de coordenadas:
\begin{cases} x = X - 1,\\\ y = Y + 1. \end{cases}

Passo 5

Substituímos essas expressões na equação original x + 3y - 2 = 0:
(X - 1) + 3(Y + 1) - 2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad X - 1 + 3Y + 3 - 2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad X + 3Y = 0.

Resposta

No novo sistema de coordenadas (X,Y), a reta fica
X + 3Y = 0.

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